Découpages et pavages dorés

Partons à la recherche du nombre d'or en géométrie, dans les polygones et ailleurs !

La figure géométrique la plus connue où apparaît le nombre d’or, noté φ, est le pentagramme, que les pythagoriciens avaient adopté comme symbole de reconnaissance.

Le pentagramme est un pentagone régulier croisé, également appelé pentacle.

On note (P) le pentagone régulier convexe initial. Le tracé de ses diagonales dessine à l’intérieur de celui-ci l’unique pentagone régulier étoilé et découpe (P) en un pentagone régulier convexe plus petit, entouré de dix triangles de deux types.

Les points A, J et F de la figure définissent le triangle AJF, dans lequel le rapport AF/JF vaut exactement φ. On qualifie généralement ce triangle de triangle d’or. Les points D, H et C définissent le triangle DHC, dans lequel le rapport DC/JDH vaut également φ. On qualifie parfois ce triangle de triangle d’argent.

À partir du pentagone initial, on construit une suite de pentagones de plus en plus petits, qui s’emboîtent les uns à la suite des autres en se recouvrant partiellement, comme le montre la figure.

En assemblant deux triangles d’or par leurs petits côtés, on obtient un losange. Il en est de même si l’on assemble deux triangles d’argent par leurs grands côtés.

Sir Roger Penrose a utilisé ces deux types de losanges pour construire des pavages non périodiques du plan (voir Tangente 198, 2021).

Lorsqu’on pave une surface de plus en plus grande avec ces deux types de losanges, le rapport entre les « losanges gras » et les « losanges minces » se rapproche de plus en plus du nombre d’or.