Le baiser précis de Frederick Soddy

Le chimiste britannique Frederick Soddy (1877-1956) reçut le prix Nobel en 1921 pour ses travaux sur les substances radioactives. Il est aussi connu pour s’être attaqué à des problèmes de géométrie.

En 1936, Soddy publie dans la revue Nature Magazine un article consacré à une question de géométrie (voir Mathématiques et Chimie, Bibliothèque Tangente 43, 2012). Si trois cercles sont tangents extérieurement deux à deux, on peut toujours trouver un quatrième cercle tangent à ces trois cercles. Dans le cas général, il existe même deux solutions : les trois cercles sont tangents extérieurement à l’une et intérieurement à l’autre.

Quelle relation lie les rayons de quatre cercles tous tangents entre eux ? Une formule fut trouvée par Soddy. Si $aa$, $bb$ et $cc$ désignent les rayons des trois cercles initiaux et $rr$ le rayon de l’un des deux cercles solutions, alors on a la relation suivante :

Cette relation avait déjà été formulée en 1643 par René Descartes dans une lettre adressée à la princesse Élisabeth de Bohème.

L’originalité de l’article de Soddy est qu’il n’a pas été rédigé comme un texte mathématique, mais sous la forme d’un poème intitulé The Kiss Precise (« Le baiser précis »), en trois strophes de huit vers. La deuxième strophe, ci-dessous, est suivie de la traduction de Claude Roux publiée dans Nouveaux Divertissements mathématiques (Martin Gardner, Dunod, 1970).

« Four circles to the kissing come. The smaller are the benter. The bend is just the inverse of The distance from the center. Though their intrigue left Euclid dumb There’s now no need for rule of thumb. Since zero bend’s a dead straight line And concave bends have minus sign, The sum of the squares of all four bends Is half the square of their sum. »

« Quatre cercles viennent s’embrasser. Le plus petit étant le plus courbé. La courbure est juste l’inverse De la distance au centre. Bien que cette intrigue ait laissé Euclide muet Nous n’avons plus besoin de règles empiriques. Comme une courbure nulle est celle d’une ligne droite Et qu’une courbure concave a un signe moins, La somme des carrés des quatre courbures Est égale à la moitié du carré de leur somme. »