Pour le bien-être de Bibi la biketh

L’Institut intergalactique est le temple de l’excellence, où exerce le redouté professeur Phi. Les parents d’Alpha vont devoir accueillir Bibi, une adorable bikhet à l’appétit féroce…

La famille Faraway vit sur la planète Agricola, où elle élève des lapins Soreils et Parasols. Pendant les vacances de leurs voisins, les parents d’Alpha vont héberger Bibi, une biketh blanche — une race locale de chèvre à deux têtes — dans une petite étable entourée d’herbe.

Bibi pouvant se révéler particulièrement vorace, les parents d’Alpha veulent l’empêcher de vagabonder dans leurs champs. Ils prévoient donc de l’attacher à une longe fixée au sol, le long d’une paroi extérieure de l’étable, afin de limiter la surface d’herbe à laquelle elle aura accès.

L’étable occupe un espace carré de cinq mètres de côté et la longe mesure dix mètres. Les parents d’Alpha lui demandent à quel emplacement, à l’extérieur de l’étable, ils doivent attacher la longe pour maximiser la surface de broutage.

Comme la longe ne mesure pas plus du double du côté de l’étable, le calcul ne nécessite pas d’arcs cosinus. En raison de la symétrie de la situation, il suffit d’analyser la position du point de fixation le long d’une moitié de côté de l’étable. La variable $xx$ désigne cette position sur le schéma.

Bibi peut tourner autour de l’étable, dans la limite de la longueur de sa longe, afin de trouver sa pitance.

À partir de la formule obtenue pour la surface accessible, il reste à déterminer la valeur de $xx$ pour laquelle cette surface est maximale.