Cyclo-maths

La bicyclette avec transmission par chaîne telle que nous la connaissons n’existe que depuis environ cent quarante ans : le premier exemplaire date de 1879. Elle permet de poser quelques questions physico-mathématiques.

Le premier souci lorsqu’un enfant, ou un adulte, apprend à faire du vélo est celui de l’équilibre et de la stabilité. Des études ont montré que, pour obtenir une bonne stabilité, il faut que l’axe de la fourche avant arrive en avant du point de contact de la roue avant avec le sol.

L’écart entre ces deux points est appelé la chasse. Plus la chasse est grande, meilleure est la stabilité. Les coureurs cyclistes professionnels préfèrent cependant une chasse moins importante, qui donne un vélo certes moins stable, mais plus maniable et plus « nerveux ». Un vélo à chasse négative serait totalement instable.

Le braquet est le rapport entre le nombre de dents de la roue dentée du pédalier, appelée le plateau, et celui de la roue dentée du moyeu arrière, appelée le pignon. Plus le braquet est grand, plus on roule vite à cadence de pédalage égale, mais plus l’effort musculaire est important. En côte, on doit donc réduire le braquet, et la vitesse, afin que l’effort musculaire soit acceptable.

Au braquet $bb$ est associé le développement $LL$, qui est la distance parcourue pour un tour complet de pédalier. On a ainsi la formule $L=b\times \pi \times dL\; =\; b\; \times \; \pi \; \times \; d$, où $dd$ est le diamètre de la roue.

Dans ce tableau figurent, en mètres, les développements correspondant à différents braquets pour une roue d’environ 68 cm de diamètre. Ces développements sont approchés. Les braquets 50 / 25, 42 / 21 et 38 / 19 donnent le même développement.

Voici un extrait du journal La Montagne, daté du 16 juillet 2017 : « Lors de l’étape de dimanche dernier entre Nantua (Ain) et Chambéry (Savoie), le Maillot jaune Chris Froome avait ainsi opté pour un 36 / 32, pour avaler le mont du Chat (8 km à 10 % de moyenne !). Et il n’était pas le seul. Objectif affiché : privilégier ainsi une fréquence de pédalage plus importante à la force, avec un gain finalement en puissance et une sollicitation moins importante des muscles. »

Voici maintenant une énigme surprenante que posa Martin Gardner, voir Tangente 136, dans sa rubrique de jeux mathématiques du Scientific American. On tient une bicyclette en équilibre et, à l’aide d’une ficelle, on tire vers l’arrière l’une des pédales, positionnée en bas.