Bain de minuit

L'Institut intergalactique est le temple de l'excellence, où exerce le redouté professeur Phi. Ce jour-là, c'est la professeure Thêta qui soumet à ses élèves un problème de robinets.

Alpha se réveille en sursaut. Un bruit inhabituel, du moins à trois heures du matin, provient de la salle de bains qu’il partage avec son camarade Bêta. Celui-ci tente de résoudre un exercice oublié pour la professeure Thêta.

L’exercice porte sur une baignoire de quatre-vingt-seize litres. Elle se remplit en huit minutes lorsque le robinet est ouvert et la bonde fermée. Elle se vide en douze minutes lorsque la bonde est ouverte et le robinet fermé.

Bêta suppose que le robinet débite 96 / 8 = 12 l à la minute et que la bonde évacue 96 / 12 = 8 l à la minute. Il en déduit que, lorsque les deux sont ouverts, le débit est de 12 − 8 = 4 l par minute et que la baignoire doit se remplir en 96 / 4 = 24 mn. Ce raisonnement lui semble toutefois trop facile.

Le cours porte sur la formule de Torricelli : $C(z)=\sqrt{2gz}C(z)=\backslash sqrt\{2gz\}$. Ici, $C(z)C(z)$ est la vitesse de l’eau à l’altitude $zz$ et $gg$ la constante gravitationnelle.

Alpha remarque que le débit d’écoulement n’est pas constant : il est donné par $D_v(z)=C(z)s=s\sqrt{2gz}D\_v(z)=C(z)s=s\backslash sqrt\{2gz\}$, où $D_v(z)D\_v(z)$ est le débit volumique à l’altitude $zz$ et $ss$ la section de la bonde. Au départ, il s’écoulera moins d’un douzième du volume de la baignoire par minute, puis ce débit augmentera progressivement avec la pression de l’eau. S’il atteint un huitième du volume de la baignoire par minute, un équilibre s’établira à une certaine hauteur.