Les petites manies de Bobot

L’Institut intergalactique est le temple de l’excellence, où exerce le redouté professeur Phi. Les élèves s’interrogent sur le mode de programmation de Bobot, le robot chargé du nettoyage quotidien des salles de classe.

Après avoir utilisé une serpillère, Bobot la range tantôt dans le placard de droite, tantôt dans celui de gauche. Les élèves tentent de prévoir son choix et parient des bonbeks, tandis que le robot poursuit son travail dans une indifférence toute robotique.

Bêta aimerait comprendre pourquoi Bobot ne range pas toujours la serpillère de chaque salle dans le même placard. Epsilon lui révèle que ce comportement est lié à la programmation du robot par le technicien de surface.

Bobot applique son programme chaque nuit dans les cent salles dont il a la charge. À sa mise en service, les serpillères de toutes les salles étaient rangées dans le placard de droite. Après les avoir utilisées le premier jour, il les a toutes rangées dans les placards de gauche.

Le jour suivant, Bobot a rangé les serpillères des salles de numéro impair à gauche et celles des salles de numéro pair à droite. Le troisième jour, il a changé de côté toutes les serpillères placées dans des salles dont le numéro est divisible par 3.

De manière générale, le n-ième jour, où $nn$ désigne le numéro du jour dans le cycle, Bobot change de côté les serpillères des salles dont le numéro est un multiple de $nn$. Dans les autres salles, il les garde à leur place précédente.

Le cent-unième jour, Bobot remet toutes les serpillères à gauche, quelle que soit leur position précédente. Un nouveau cycle commence alors.

Bêta connaît la salle dans laquelle il se trouvera le lendemain, mais ignore à quel jour du cycle passera Bobot. Epsilon accepte de lui donner cette information s’il résout d’abord son défi.