La générosité du professeur Phi

L’Institut intergalactique est le temple de l’excellence, où exerce le redouté professeur Phi. La fête précédant les grandes vacances est l’occasion de comparer le résultat de deux formules algébriques.

Pour marquer le début des grandes vacances, une fête est organisée sur le campus. La tradition veut que les professeurs qui, pendant toute l’année, ont fait couler sueur et larmes, sponsorisent pour se racheter les divertissements prévus à cette occasion.

Cette tradition n’est pas au goût du professeur Phi : il voit dans cette journée consacrée à l’amusement une occasion perdue de diffuser quelques connaissances scolaires supplémentaires. Devoir la financer est pour lui un crève-cœur additionnel.

Contraint de participer financièrement, le professeur Phi choisira au hasard trois élèves. Le montant de sa contribution sera, au choix, soit le produit des âges de ces trois élèves, soit le produit des trois sommes de deux âges auxquelles on retranche le troisième. Le résultat sera divisé par 20 afin de rester compatible avec ses émoluments. Les élèves devront choisir leur formule avant de connaître les trois personnes tirées au sort.

Le professeur Phi ajoute que, si les élèves démontrent à l’avance que leur choix sera toujours le meilleur quels que soient les élèves tirés au sort, il doublera la mise.

Alpha propose d’appeler a, b et c les âges des trois élèves. Il faut alors comparer X = abc avec Y = ( a + b – c )( a – b + c )(– a + b + c ).

Bêta constate que, si a = b = c, alors X = Y. Gamma précise que tous les élèves ont entre 17 et 20 ans.

Alpha teste plusieurs cas. Avec 17, 17 et 20, on a X = 5 780 et Y = 5 600. Pour 17, 18 et 19, X = 5 814 et Y = 5 760. Pour 17, 19 et 20, X = 6 460 et Y = 6 336. Il conjecture que X est toujours supérieur ou égal à Y, mais il reste à le démontrer pour toutes valeurs de a, b et c.

Après quelques instants de recherche, Epsilon annonce qu’une petite transformation apporte la solution. Elle ajoute que le professeur Phi a donné une indication juste avant de partir.