L’inverseur de Simon Plouffe

Depuis vingt-cinq ans, le mathématicien Simon Plouffe développe un programme informatique étonnant : la calculatrice symbolique inverse est capable de transformer un nombre à virgule en une expression exacte.

Lorsqu’on connaît seulement une valeur approchée d’un nombre réel, on peut parfois se demander si ce nombre peut s’exprimer à l’aide de constantes connues et de fonctions simples. Des mathématiciens ont donc construit des outils permettant d’associer à une valeur approchée d’un nombre des valeurs exactes possibles.

Imaginez une machine numérique contenant une fonction qui vous est inconnue. Lorsque vous entrez un nombre réel, elle retourne une valeur approchée, avec huit ou dix chiffres significatifs, de l’image du nombre entré.

Même en testant un très grand nombre de valeurs, il existera toujours une infinité de fonctions susceptibles de convenir. On cherche donc d’abord une fonction pouvant se définir aussi simplement que possible, bien que la notion de simplicité ne puisse pas être définie mathématiquement.

Pour déterminer la fonction inconnue, il faudrait une machine inverse : lorsqu’on lui fournit un nombre décimal, elle retourne un nombre réel qui s’écrit à l’aide de constantes connues et de fonctions « simples », et dont le nombre saisi est une valeur approchée suffisamment précise. Elle choisit ainsi une valeur réelle exacte parmi un nombre colossal de possibilités, selon son expression à partir d’un petit nombre de constantes connues $(\pi ,\text{e},\sqrt{2},\sqrt{3},2\sqrt{2},\dots )\backslash left(\; \backslash pi,\; \backslash text\{e\},\; \backslash sqrt\{2\},\; \backslash sqrt\{3\},\; 2\backslash sqrt\{2\},\; \backslash ldots\; \backslash right)$ et d’opérations entre ces constantes.

Une telle machine existe : il s’agit de l’inverseur de Simon Plouffe, mathématicien franco-canadien né en 1956 et également coauteur de The Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), créée par le mathématicien britannique Neil Sloane. Une version accessible de cette « calculatrice symbolique inverse », appelée ISC pour Inverse Symbolic Calculator, est disponible à l’adresse ** wayback.cecm.sfu.ca/projects/ISC **, même si cette version, en chantier depuis plus de 25 ans, n’est pas complètement finalisée.

Pour utiliser cet inverseur, la valeur saisie doit comporter au moins cinq chiffres significatifs. Elle doit aussi être une troncature, et non une valeur arrondie par excès.

Si une valeur arrondie par excès est saisie, l’ISC considère son dernier chiffre comme exact. Avec 3,1416, par exemple, l’inverseur ne propose pas le nombre π, mais des expressions comme 1/3183091 — les chiffres « 0 » initiaux n’étant pas pris en compte — ou $(9\sqrt{11}-11)\mathrm{/}6,\backslash left(\; 9\; \backslash sqrt\{11\}\; -11\; \backslash right)\; /6,$ dont l’écriture décimale commence par 3,141603852...

Avec seulement cinq chiffres significatifs, l’inverseur retourne plusieurs centaines de propositions. Plus le nombre de chiffres connus est grand, plus la recherche peut être affinée.

Pour le nombre 3,9681187850, l’ISC ne retourne que les trois propositions suivantes : $\sqrt{3}+\sqrt{5},{\left({\text{e}}^{\ln (5)}\right)}^{1\mathrm{/}2}+\sqrt{3}\backslash sqrt\{3\}\; +\; \backslash sqrt\{5\},\; \backslash left(\; \backslash text\{e\}^\{\backslash ln(5)\}\; \backslash right)\; ^\{1/2\}\; +\; \backslash sqrt\{3\}$ et $\left[\sqrt{(4+\sqrt{15})}\right]\times \sqrt{2}\mathrm{.}\backslash left[\; \backslash sqrt\{\; \backslash left(\; 4+\; \backslash sqrt\{15\}\; \backslash right)\}\; \backslash right]\; \backslash times\; \backslash sqrt\{2\}.$

Bien que la base de données de l’inverseur contienne plusieurs millions de constantes, certaines recherches peuvent ne pas aboutir. Si l’on saisit 48,130480170, valeur approchée de $\pi +\sqrt{2024},\backslash pi\; +\; \backslash sqrt\{2024\},$ aucune réponse n’est obtenue.

Revenons à la machine qui applique une fonction inconnue aux nombres entrés. Voici les valeurs approchées qu’elle fournit.