Le plus petit des grands ou le plus grand des petits ?

Un petit diagramme peut parfois être aussi convaincant, voire davantage, qu’un long discours.

Comment montrer qu’une somme de huit nombres entiers dont le plus grand est 5 peut s’écrire comme la somme de cinq nombres entiers dont le plus grand est 8 ? Le petit diagramme suggère une méthode, qui est toujours réalisable.

En faisant pivoter le dessin de gauche, qui illustre la somme 1 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5, d’un quart de tour dans le sens de la flèche, on transforme la somme de huit nombres rangés dans l’ordre croissant en une somme de cinq nombres, 8 + 7 + 6 + 3 + 1, rangés dans l’ordre décroissant.

Le nombre de « cases unités » étant conservé, on a l’égalité 1 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 = 1 + 3 + 6 + 7 + 8 = 25.

On obtient ainsi deux partitions, c’est-à-dire deux écritures sous forme de sommes d’entiers non nuls, du nombre 25, qui sont duales l’une de l’autre. Ce type de diagramme est appelé diagramme de Ferrers, d’après le mathématicien britannique Norman Ferrers.

Alors qu’il était étudiant, Ferrers résolut à l’aide d’un tel diagramme le problème suivant : démontrer que le nombre de partitions d’un entier en n parties est égal au nombre de partitions de cet entier dont la plus grande partie est n.

Cette propriété se généralise à une somme quelconque de n nombres entiers strictement positifs, où n > 0, dont le plus grand est p, avec p > 0. On peut avoir p = n : les deux sommes peuvent alors être différentes ou identiques. Lorsque les deux diagrammes sont identiques, la partition qu’ils représentent est dite auto-duale.

Partition auto-duale du nombre 32.

Un théorème d’Euler énonce que le nombre de partitions de l’entier n en parts impaires et distinctes est égal au nombre de partitions de n auto-duales.

Maxi des mini ou mini des maxi ?

À partir de ce tableau de nombres tous différents — le fameux carré magique de Dürer, mais ce pourrait être un carré quelconque —, on a écrit à gauche les minima de chaque ligne et, en bas, les maxima de chaque colonne.

Dans tout tableau rectangulaire de nombres tous différents, le minimum des maxima des colonnes est toujours supérieur ou égal au maximum des minima des lignes.