Quels sont les n-uplets d’entiers pour lesquels la somme est égale au produit ? Et ceux pour lesquels la somme des carrés est égale au produit ?
Énoncé
Un n-uplet désigne une liste ordonnée de n entiers. Quels sont les n-uplets d’entiers pour lesquels la somme est égale au produit ? Et ceux pour lesquels la somme des carrés est égale au produit ?
Dans l’ensemble ℕ des nombres entiers naturels, où a et b désignent deux éléments de ℕ, l’équation ab = a + b ne possède que deux solutions : 0 + 0 = 0 × 0 = 0 et 2 + 2 = 2 × 2 = 4. Avec trois entiers naturels a, b et c, l’équation a + b + c = abc ne possède qu’une seule solution non triviale : 6 = 3 + 2 + 1 = 3 × 2 × 1.
Tout nombre entier non premier supérieur ou égal à 6 peut être écrit sous ces deux formes égales, à condition d’utiliser suffisamment de termes, ou de facteurs, égaux à 1.
8 = 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 2 × 2 × 2 × 1 ;
24 = 4 + 3 + 2 + 1 + 1 +… + 1 = 4 × 3 × 2 × 1 (avec quinze « 1 ») ;
2 024 = 23 + 11 + 8 + 1 + 1 +… + 1 = 23 × 11 × 8 × 1 (avec mille neuf cent quatre-vingt-deux « 1 »).
Q1Question 1 sur 2À faire
Écrivez 2 024 d’une manière similaire en utilisant le plus petit nombre de termes possible.
Le problème suivant a été étudié en 1907 par le mathématicien allemand Adolf Hurwitz. Les nombres x₁, x₂, …, xₙ désignent n entiers naturels et k désigne le coefficient du produit. Il s’agit de déterminer les solutions dans ℕ des équations du type x₁² + x₂² +… + xₙ² = k × x₁ × x₂ ×… × xₙ, en dehors des solutions triviales où x₁ = x₂ =… = xₙ = 0, et x₁ = x₂ =… = xₙ = 1 avec k = n.
Pour k = 1, on obtient notamment :
16 = 2² + 2² + 2² + 2² = 2 × 2 × 2 × 2 ;
24 = 3² + 2² + 2² + 2² + 1² + 1² + 1² = 3 × 2 × 2 × 2 × 1 × 1 × 1 ;
27 = 3² + 3² + 3² = 3 × 3 × 3 ;
36 = 4² + 3² + 3² + 1² + 1² = 4 × 3 × 3 × 1 × 1.
D’autres solutions existent avec une valeur de k supérieure à 1 :
8 = 2² + 1² + 1² + 1² + 1² = 4 (2 × 1 × 1 × 1 × 1) ;
10 = 2² + 1² + 1² + 1² + 1² + 1² + 1² = 5 (2 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1) ;
12 = 2² + 2² + 1² + 1² + 1² + 1² = 3 (2 × 2 × 1 × 1 × 1 × 1).
Le mathématicien américain Norman Herzberg reprit cette exploration dans un article de 1972.
Ce tableau donné par Hurwitz sera prolongé par Herzberg jusqu’à n = 45.
S désigne la somme des carrés des xᵢ ; les solutions triviales apparaissent en bleu.
Il existe des valeurs de n pour lesquelles les seules solutions sont triviales : 12, 24, 32, 48, 60, 108, 240, 384, 480, 608, 972, 984, 1 020, 2 688. Elles sont toutes congrues à 0 ou à 8 modulo 12. On n’en connaît pas d’autres jusqu’à 10⁸, et on conjecture que ce sont les seules.
Q2Question 2 sur 2À faire
Écrivez 2 024 comme une somme de carrés de nombres entiers naturels égale au produit de ces mêmes entiers naturels.