Lorsque 16,8 = 110

On considère un triangle ABC quelconque. H est le pied de la hauteur issue de A et D est le point de [BC] tel que $\widehat{BAD}=\widehat{ACB}\backslash widehat\{BAD\}=\backslash widehat\{ACB\}$.

Les triangles ABC et ABD sont semblables et le rapport de leurs aires est égal au carré du rapport de similitude : Aire (ABD) / Aire (ABC) = (AD / AC) 2 = (AB / BC) 2 = (43 / 110) 2, soit environ 0,153, et BD = BA × 43 / 110 est « proche » de 16,8.

Par ailleurs, Aire (ABC) = BC × AH / 2 et Aire (ABD) = BD × AH / 2, d’où Aire (ABD) / Aire (ABC) = BD / BC. On en déduit que AD 2 / AC 2 = BD / BC, d’où AD 2 × BC = BD × AC 2.

Mais nous avons aussi AC 2 = AB 2 + BC 2 – 2 AB × BC × cos $\widehat{B}\backslash widehat\{B\}$ et AD 2 = AB 2 + BD 2 – 2 AB × BD × cos $\widehat{B}\backslash widehat\{B\}$.

En reportant dans l’égalité précédente, on obtient : (AB 2 + BD 2 – 2 AB × BD × cos $\widehat{B}\backslash widehat\{B\}$) × BC = (AB 2 + BC 2 – 2 AB × BC × cos $\widehat{B}\backslash widehat\{B\}$) × BD.

En divisant les deux membres par BC × BD, on aboutit à : (AB 2 / BD) + BD – 2 AB × cos $\widehat{B}\backslash widehat\{B\}$ = (AB 2 / BC) + BC – 2 AB × cos $\widehat{B}\backslash widehat\{B\}$), d’où (AB 2 / BD) – BC = (AB 2 / BC) – BD.

En réduisant au même dénominateur dans chaque membre, on trouve : (AB 2 – BC × BD) / BD = (AB 2 – BC × BD) / BC. Enfin, en simplifiant par (AB 2 – BC × BD), on arrive à 1 / BC = 1 / BD, d’où BD = BC.