Les nombres premiers de Monsieur Le Blanc

La mathématicienne autodidacte Sophie Germain (1776-1831), faute de pouvoir suivre les cours de l’École polytechnique, emprunta les cahiers d’un élève de l’École, Antoine Auguste Le Blanc, dont elle utilisera ensuite le nom pour écrire aux « grands » mathématiciens de son époque, notamment Lagrange et Gauss.

Voici la suite $(a_n)(a\_n)$, où $a_{n}a\_n$ désigne le terme de rang $nn$ et où les nombres premiers apparaissent en gras : 2 ; 5 ; 11 ; 23 ; 47 ; 95 ; 191 ; 383 ; 767 ; 1535 ; 3071 ; 6143 ; 12287…

On part du nombre 2, qui est le plus petit des nombres premiers et le seul qui soit pair. Pour obtenir chaque nouveau terme, on multiplie le précédent par 2, puis on ajoute 1 ; on itère ensuite le procédé.

La suite des chiffres des unités est périodique à partir du second terme, ce qui découle de la méthode de construction. Il en résulte que tous les termes d’indice $n=4k+2n\; =\; 4k\; +\; 2$, où $kk$ désigne un entier naturel, sont des multiples de 5, donc non premiers à l’exception de 5.

Les autres termes sont premiers jusqu’à 383, mais cela ne perdure pas ensuite. En effet, $767=13\times 59767\; =\; 13\; \times \; 59$ ; $3071=37\times 833071\; =\; 37\; \times \; 83$ ; $12287=11\times 111712287\; =\; 11\; \times \; 1117$...

Sophie Germain, comme tous les mathématiciens de son époque, était fascinée par le grand théorème de Fermat, démontré dans certains cas particuliers, mais dont la démonstration générale échappait encore à tous.

Elle s’intéressa au cas où, dans l’égalité de Fermat $x^p+y^p=z^{p}x^p\; +\; y^p\; =\; z^p$, où $xx$, $yy$ et $zz$ désignent les nombres intervenant dans l’égalité, l’exposant premier $pp$, avec $p>2p\; >\; 2$, est tel que $2p+12p\; +\; 1$ est également premier. Elle démontra que, dans un tel cas, il n’y avait pas de solutions. On appelle aujourd’hui ces nombres les nombres premiers de Sophie Germain, dont voici les premiers termes : 2 ; 3 ; 5 ; 11 ; 23 ; 29 ; 41 ; 53 ; 83 ; 89 ; 113 ; 131 ; 173 ; 179 ; 191 ; 233 ; ...

On conjecture qu’il existe une infinité de nombres premiers de Sophie Germain, mais cela n’a pas encore pu être démontré.

Des chaînes de nombres

Le mathématicien indo-britannique Allan Cunningham (1842-1928) s’intéressa à ces nombres et aux chaînes complètes de plusieurs nombres premiers. Elles sont constituées de suites de nombres premiers de Sophie Germain, à l’exception du dernier terme, qui n’a pas de successeur premier, telles que $2\Rightarrow 5\Rightarrow 11\Rightarrow 23\Rightarrow 472\; \Rightarrow \; 5\; \Rightarrow \; 11\; \Rightarrow \; 23\; \Rightarrow \; 47$ par exemple. La flèche $\Rightarrow \Rightarrow$ indique le passage d’un terme au suivant. La plus longue chaîne actuellement connue comporte seize nombres, dont le premier est 810433818265726529159.

On définit aussi des chaînes de Cunningham de seconde espèce à partir de suites de nombres premiers de la forme $n\Rightarrow 2n-1\Rightarrow \dots n\; \Rightarrow \; 2n\; -\; 1\; \Rightarrow \; \dots$, où $nn$ désigne le premier nombre de la chaîne. On obtient la suite $(b_n)(b\_n)$, où $b_{n}b\_n$ désigne le terme de rang $nn$ : 2 ; 3 ; 7 ; 13 ; 25 ; 49 ; 97 ; 193 ; 385 ; 769 ; 1537 ; 3073 ; 6145 ; 12289 ; ... Les nombres premiers sont en gras dans cette liste.

La plus longue chaîne de seconde espèce actuellement connue comporte seize nombres, dont le premier est 3203000719597029781.

On peut aussi rechercher des chaînes de Cunningham généralisées du type $p\Rightarrow kp+m\Rightarrow \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}p\; \Rightarrow \; kp\; +\; m\; \Rightarrow \; ...$, où $kk$ et $mm$ sont des entiers naturels, et où $pp$ et $kp+mkp\; +\; m$ sont des nombres premiers.