Les nombres narcissiques

Narcisse, selon la mythologie grecque, était si envoûté par sa propre image reflétée dans un étang qu’il s’y noya. Le malheureux, par la volonté des dieux, fut ensuite transformé en la fleur éponyme. De même, il existe des nombres si amoureux de leurs chiffres qu’ils ne changent pas, même après les avoir manipulés mathématiquement : ils restent, d’une certaine façon, le reflet du nombre de départ !

Un nombre narcissique, ou nombre d’Armstrong, est un entier naturel $nn$ non nul égal à la somme des puissances $pp$-ièmes de ses chiffres en base dix, où $pp$ désigne le nombre de chiffres de $nn$. En résumé, c’est un nombre égal à la somme de ses chiffres à la puissance du nombre de ses chiffres.

153 = 13 + 53 + 33 370 = 33 + 73 + 03 371 = 33 + 73 + 13 407 = 43 + 03 + 73

1634 = 14 + 64 + 34 + 44 8208 = 84 + 24 + 04 + 84 9474 = 94 + 44 + 74 + 44

Avec ce principe, on peut également jouer avec les partitions numériques des puissances : 81 = (8+1)2 512 = (5+1+2)3 4913 = (4+9+1+3)3 17576 = (1+7+5+7+6)3 234256 = (2+3+4+2+5+6)4 1679616 = (1+6+7+9+6+1+6)4 17210368 = (1+7+2+1+0+3+6+8)5 205962976 = (2+0+5+9+6+2+9+7+6)5 8303765625 = (8+3+0+3+7+6+5+6+2+5)6 24794911296 = (2+4+7+9+4+9+1+1+2+9+6)6 271818611107 = (2+7+1+8+1+8+6+1+1+1+0+7)7 6722988818432 = (6+7+2+2+9+8+8+8+1+8+4+3+2)7 72301961339136 = (7+2+3+0+1+9+6+1+3+3+9+1+3+6)8 248155780267521 = (2+4+8+1+5+5+7+8+0+2+6+7+5+2+1)8

Une variété spécifique de ces nombres fut baptisée « erreurs d’impression » par le vulgarisateur et ludologue Henry Dudeney. Dans un de ses livres de jeux mathématiques publié en 1917, il est question d’un pauvre imprimeur qui avait imprimé par erreur 2592 au lieu de 2 5 · 9 2. Quelle ne fut pas sa joie d’apprendre que cette coquille était une simple peccadille, puisque le nombre et l’expression numérique étaient en fait égaux !

Il est à noter que 2592 est le seul nombre à 4 chiffres pouvant avoir la forme A B × C D = ABCD, où $AA$, $BB$, $CC$ et $DD$ désignent les chiffres formant ces nombres. L’autre nombre connu qui partage les mêmes propriétés est : 24547284284866560000000000 qui est, en effet, égal à 24 · 54 · 72 · 84 · 28 · 48 · 66 · 56 · 00 · 00 · 00 · 00 · 00

Voici d’autres formes possibles utilisant des fractions : 1129 1/3 = 112 ·9 1/3 2124 9/11 = 212 ·4 9/11

Certaines formes peuvent même être infinies : 34425 = 34 ·425 312325 = 312 ·325 344250 = 34 ·4250 3123250 = 312 ·3250 3442500 = 34 ·42500 31232500 = 312 ·32500 etc. etc.

492205 = 492 · 205 4922050 = 492 · 2050 49220500 = 492 · 20500 etc.