Le cercle inscrit confiné

Ce problème et sa réponse sont peints sur le temple de Mangan-ji, dans la préfecture de Fukushima au Japon. Toutes les longueurs seront exprimées en décimètres.

On prend une feuille de papier carrée $ABCDABCD$ de côté $11$ dm. On plie la feuille de façon que le coin $AA$ se positionne en $QQ$ sur le côté opposé $[BC][BC]$, et que le bord replié de la feuille coupe $[DC][DC]$ au point $SS$.

On trace le cercle inscrit dans le triangle rectangle $SCQSCQ$ : il est, par définition, tangent à ses trois côtés.

Le but du problème est de comparer le rayon $rr$ de ce cercle et la longueur $dd$ du segment $[D\text{’}S][D’S]$ du côté replié qui déborde à l’extérieur de la feuille.

On imagine d’abord que le point $QQ$ est au milieu de $[BC][BC]$.

Au lieu de supposer que le point $QQ$ vérifie $BQ=BC\mathrm{/}2BQ\; =\; BC\; /\; 2$, on suppose maintenant que $BQ=BC\mathrm{/}kBQ\; =\; BC\; /\; k$, où $kk$ est un réel strictement supérieur à $11$. En faisant varier $kk$, on admet que l’on peut ainsi obtenir toutes les positions possibles de $QQ$ sur le côté $]BC[]BC[$.