La dualité, c'est magique !

La dualité se manifeste en géométrie plane, dans les polyèdres, les graphes… On peut aussi la faire apparaître dans la magie arithmétique !

Un carré magique normal d’ordre n, où n désigne le nombre de cases de chaque côté, est constitué de n² cases contenant les entiers de 1 à n². Ces nombres sont disposés de telle façon que la somme de chaque ligne, de chaque colonne et de chacune des deux diagonales soit toujours la même. Cette valeur est appelée la somme magique. Ci-dessous figure un carré magique normal d’ordre 5, de somme magique 65.

Dans ce carré, remplaçons maintenant chaque nombre par son complément à 26. Dans un carré d’ordre n, on prendrait le complément à n² + 1. On obtient un nouveau carré magique normal, appelé le dual du précédent.

Appliquons cette opération au plus ancien carré magique connu, présent en Chine depuis plus de deux mille ans : le Lo Shu, d’ordre 3 et de somme magique 15. Construisons son dual en remplaçant chaque nombre par son complément à 10.

On obtient le même carré, à rotation ou symétrie près ! Le Lo Shu est donc un carré autodual. Rien d’étonnant à cela : le carré magique normal d’ordre 3 est unique, à rotation et symétrie près…

L’univers de la magie arithmétique a exploré bien d’autres figures que le carré. La figure considérée est un pentagone magique normal contenant les entiers de 1 à 16, dans lequel tout alignement de trois nombres a pour somme 30. On construit son dual en remplaçant chaque nombre par son complément à 17.

Le nouveau pentagone est également magique, mais sa somme magique n’est plus la même : elle est égale à 21. Les nombres sont répartis en cinq entiers appartenant à une seule somme, cinq entiers appartenant à trois sommes et un entier, placé au centre, appartenant à cinq sommes. Cette répartition détermine la valeur de la somme magique.

Le pentagone initial présentait également une somme de cinq nombres, situés sur le cercle en pointillés, égale à la somme magique 30. Le pentagone dual perd cette propriété.

Dans l’hexagone qui suit, il s’agit de placer les nombres de 1 à 13 dans les disques de telle sorte que la somme des nombres placés dans trois disques alignés soit toujours la même.