Inégalités en puzzles

Où l’on se convainc que l’inoxydable inégalité triangulaire peut nous conduire à des relations géométriques insoupçonnées !

En vertu de l’inégalité triangulaire, dans tout triangle non aplati, la somme des longueurs des deux plus petits côtés est strictement plus grande que la longueur du plus grand côté. Cette inégalité est évidemment vérifiée dans un triangle rectangle. Mais peut-on majorer la somme des longueurs des deux cathètes, qui sont les deux plus petits côtés, en fonction de la longueur de l’hypoténuse, qui est le plus grand côté ?

Le puzzle ci-dessus illustre le théorème de Pythagore. En effet, si $aa$ et $bb$ désignent les longueurs des cathètes du triangle jaune et $cc$ celle de son hypoténuse, on a $c^2=2ab+(a-b{)}^{2}c^2\; =\; 2ab\; +\; (a-b)^2$, soit $c^2=a^2+b^{2}c^2\; =\; a^2+b^2$.

Complétons le puzzle à l’aide de quatre triangles identiques au triangle initial, de façon à obtenir un grand carré de côté $a+ba+b$.

Lorsque le carré vert est visible, donc d’aire non nulle, on a , d’où .

Imaginons maintenant que l’on fasse varier continûment la longueur du côté $bb$, tandis que $aa$ reste constante. On obtient alors le « film » ci-dessous, dans lequel le carré vert, de côté $a-ba-b$, décroît jusqu’à disparaître complètement, avant de réapparaître puis de croître continûment.

Lorsque le triangle rectangle initial est isocèle, le carré vert a disparu et on a l’égalité $a+b=c\sqrt{2}a+b\; =\; c\backslash sqrt\{2\}$. On peut donc affirmer que, dans tout triangle rectangle, on a .

Considérons maintenant des triangles ayant un angle de 120°. Soit $cc$ la longueur du côté opposé à l’angle de 120°, donc celle du plus grand côté du triangle, et soient $aa$ et $bb$ les longueurs des deux autres côtés.