Faits inusuels ou futiles autour de ?

On s’intéresse aux nombres premiers notés Pₙ, où n indique leur rang dans la liste, qui commencent par les k premiers chiffres de π, où k désigne le nombre de chiffres retenus.

Les quatre premiers sont : P₁ = 3, P₂ = 31, P₃ = 314 159 et P₄ = 31 415 926 535 897 932 384 626 433 832 795 028 841.

À ce jour, on n’en connaît que trois autres, longs respectivement de seize mille deux cent huit, quarante-sept mille cinq cent soixante-dix-sept et soixante-dix-huit mille soixante-treize chiffres !

Certaines approximations de π, ou faisant intervenir π, sont spectaculaires : ${(1+\frac{1}{\pi })}^{1+\pi }\simeq \pi ,\backslash left(\; 1+\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\backslash right)^\{1+\backslash pi\}\; \backslash simeq\; \backslash pi,$ $\frac{6{\varphi }^2}{5}\simeq \pi ,\backslash frac\{6\backslash phi^2\}\{5\}\backslash simeq\; \backslash pi,$ $e\simeq \sqrt[6]{{\pi }^5+{\pi }^6},e\; \backslash simeq\; \backslash sqrt[6]\{\backslash pi^5+\backslash pi^6\},$ $\frac{9}{5}+\sqrt{\frac{9}{5}}=\mathrm{3.14164...}\backslash frac\{9\}\{5\}+\backslash sqrt\{\backslash frac\{9\}\{5\}\}=3.14164...$ Extraordinaire Ramanujan !

Un étonnant « pangramme numérique », c’est-à-dire une expression contenant tous les chiffres de 0 à 9, a été trouvé par le mathématicien Ed Pegg Jr. Il utilise une fois et une seule chacun des chiffres pour proposer une approximation de π à 10⁻¹⁰ près : 3 + [1 0 – (9 – 8 – 5) – 6] / (7 + 2 – 4).

La séquence de six 9 commençant à la 762e décimale de la représentation décimale de π se nomme le point de Feynman. Elle doit son nom au physicien Richard Feynman, qui avait confié avec humour vouloir mémoriser les décimales de π jusqu’à ce point afin de finir leur récitation par « neuf-neuf-neuf-neuf-neuf-neuf et… ainsi de suite ! », laissant penser que π est un nombre rationnel.

On ne sait toujours pas démontrer aujourd’hui que le nombre gigantesque ${\pi }^{({\pi }^{({\pi }^{\pi })})}\backslash pi^\{(\backslash pi^\{(\backslash pi^\{\backslash pi\})\})\}$ n’est pas un entier : il comporte quatre niveaux d’exponentiation. Quant à décider s’il s’agit ou non d’un nombre irrationnel, c’est encore une autre paire de manches…

Imaginons un système de numération en base π. Dans ce système, le nombre écrit 10 en base π vaudrait π ; 100 en base π vaudrait π² ; 1 000 en base π vaudrait π³ ; et ainsi de suite.

Ce système pourrait aider à visualiser la relation entre le diamètre d’un cercle et sa circonférence. Un cercle ayant un diamètre d’une unité en base π aurait une circonférence de 10 en base π, tandis qu’un cercle dont le diamètre vaut 10 unités en base π aurait une circonférence de 100 en base π.

De même, un cercle ayant un rayon d’une unité aurait une aire de 10 unités² en base π, tandis qu’un cercle dont le rayon vaut 10 en base π aurait une aire de 1 000 unités² en base π.

Le premier problème est que convertir un entier dans une base transcendante est une gageure. Par exemple : 4 = 10,22012202112111030100… en base π.

Plus étonnant encore, les entiers n’ont pas forcément une représentation unique dans ce système.