Faire le tour d’un polygone croisé avec une allumette

Regarder de près de simples polygones familiers peut déjà nous faire perdre le Nord…

L’expérience proposée ici met en évidence certaines propriétés des angles d’un polygone quelconque, qu’il soit croisé ou non, en n’effectuant quasiment aucun calcul. Mais n’attrapez pas le tournis…

On place une allumette en $A_{1}A\_1$, sur le côté $[A_1{A}_2][A\_1A\_2]$ de l’hexagone croisé $A_1{A}_2{B}_1{A}_3{B}_2{B}_{3}A\_1A\_2B\_1A\_3B\_2B\_3$. On la fait glisser jusqu’au sommet $A_{2}A\_2$, puis pivoter dans le sens trigonométrique, sa tête restant sur $A_{2}A\_2$, afin de la mettre en contact avec le côté $[A_2{B}_1][A\_2B\_1]$. Elle glisse ensuite jusqu’au sommet $B_{1}B\_1$, où elle pivote dans le sens horaire pour rejoindre le côté $[B_1{A}_3][B\_1A\_3]$. On continue ainsi : la rotation s’effectue dans le sens trigonométrique aux sommets $A_{1}A\_1$, $A_{2}A\_2$ et $A_{3}A\_3$, et dans le sens horaire aux sommets $B_{1}B\_1$, $B_{2}B\_2$ et $B_{3}B\_3$, jusqu’au retour de l’allumette à sa position de départ.

Refaisons cette expérience en ajoutant une contrainte. La ligne polygonale fermée $A_1{A}_2{B}_1{A}_3{B}_2{B}_{3}A\_1A\_2B\_1A\_3B\_2B\_3$ est désormais considérée comme un mur infranchissable, et l’allumette est placée à l’intérieur de l’angle saillant au sommet $A_{1}A\_1$. On procède comme précédemment, sauf qu’aux sommets $B_{1}B\_1$, $B_{2}B\_2$ et $B_{3}B\_3$, l’allumette ne peut pas franchir le mur : elle doit tourner dans le sens antihoraire en décrivant les angles rentrants.

La somme des angles intérieurs d’un polygone simple, c’est-à-dire non croisé, comportant $nn$ côtés est égale à $(n\text{–}2)\times 180\mathrm{°}(n\; –\; 2)\; \times \; 180°$. Pour un hexagone, elle vaut ainsi $720\mathrm{°}720°$, soit deux tours. Considérons maintenant l’hexagone croisé comme un assemblage de tiges rigides articulées et décroisons-le : on obtient l’hexagone $A_1{A}_{2}B{\text{’}}_1{A}_{3}B{\text{’}}_2{B}_{3}A\_1A\_2B’\_1A\_3B’\_2B\_3$.