Est-ce un groupe ?

Soit $EE$ un ensemble non vide muni d’une opération associative. Pour tous éléments $xx$, $yy$ et $zz$ de $EE$, le composé de deux éléments est toujours simplifiable à droite et à gauche : $xy=xzxy\; =\; xz$ implique $y=zy\; =\; z$, et $yx=zxyx\; =\; zx$ implique $y=zy\; =\; z$.

Pour tout élément $aa$ de $EE$, l’ensemble de ses puissances $a n  n  ≥ 1 est fini.