Un petit tour d'horizon des suites qui se mesurent elles-mêmes a été proposé dans Tangente 195 (2020). À la demande de nos lecteurs, la rubrique « Mathématiques étonnantes » revient sur ce thème !
Énoncé
Un petit tour d’horizon des suites qui se mesurent elles-mêmes a été proposé dans Tangente 195 (2020). À la demande de nos lecteurs, la rubrique « Mathématiques étonnantes » revient sur ce thème !
L’Encyclopédie des suites d’entiers en ligne (OEIS) de Neil Sloane regorge de pépites. Prenez celle dont le petit nom est A264646. Chacun de ses termes est la concaténation — ou « juxtaposition », comme une soudure — d’une position et d’un chiffre précis. Ainsi, « 103 » signifie : « Le dixième chiffre de la suite est un 3. » La suite A264646 auto-décrit ainsi la position de tous les chiffres qui la composent.
A264646 = 11, 21, 32, 41, 53, 62, 74, 81, 95, 103, 116, 122, 137, 144, 158, 161, 179, 185, 191, 200, 213, 221…
Dit autrement : en position 1, il y a un « 1 » ; en position 2, il y a un « 1 » ; en position 3, il y a un « 2 » ; en position 4, il y a un « 1 » ; et ainsi de suite. La suite A264646 est strictement croissante, puisque les indices 1, 2, 3, 4… qui commencent chaque terme et indiquent les positions sont croissants par définition.
Dans le même ordre d’idée, A210415 est une suite remarquable : elle décrit toutes les positions de ses chiffres « 1 ».
A210415 = 1, 3, 10, 6, 11, 7, 21, 13, 15, 17, 19, 101, 24, 100, 29, 102, 34, 103, 39, 104, 44, 105, 49, 106, 54, 107, 59, 108…
Il y a bien un chiffre « 1 » en position 1, un autre en position 3 — c’est le « 1 » de « 10 » —, un autre en position 10 — le « 1 » de « 21 » —, un autre encore en sixième position — le premier « 1 » de « 11 » —, et ainsi de suite.
Cette suite contient près de 25 % de chiffres « 1 », ce qui est très élevé : la moyenne en voudrait 10 %. Cette proportion tient toutefois à la règle stricte suivie par les auteurs.
La suite 1, 11, 111, 1111, 11111… contient 100 % de « 1 ». Mais elle ne décrit la position que de quelques-uns d’entre eux : uniquement le premier, le onzième, le cent onzième…
Pour éviter ce genre d’astuce, il faut fixer une règle permettant de comparer toutes les suites qui décrivent leur contenu en « 1 ». La règle suivie pour élaborer A210415 est classique : on commence par a (1) = 1, puis on étend systématiquement la suite avec le plus petit entier positif qui n’y figure pas et qui décrit, sans contradiction, la position d’un « 1 » passé ou à venir.
Ainsi, le début 1, 11, 111… est « lexico-battu » par 1, 3, 10. Quant au début 1, 2…, il produit une contradiction : le terme 2 affirme qu’il y a un chiffre « 1 » en deuxième position, ce qui est faux.
À l’entrée A210415 de l’OEIS figurent les liens vers ses neuf suites parentes, qui décrivent respectivement les positions de leurs chiffres « 0 », « 2 », « 3 »… jusqu’à « 9 ».
Q1Question 1 sur 1À faire
Comment A264646 décrit-elle tous ses chiffres, et comment A210415 décrit-elle les positions de ses chiffres « 1 » en évitant les astuces et les contradictions ?