Énoncé
Le nom de Pythagore évoque autant la géométrie que la théorie des nombres. Si les triplets pythagoriciens sont bien connus, les triplets « presque » pythagoriciens restent plus mystérieux.
Un triplet presque pythagoricien est un triplet d’entiers positifs ( x , y , z ) tels que x 2 + y 2 = z 2 ± 1.
On connaît des solutions de l’équation x 2 + y 2 = z 2 + 1 et l’on sait même en générer une infinité à partir des triplets pythagoriciens, sans toutefois savoir produire toutes les solutions. Les tableaux suivants donnent quelques « petites » solutions.
Dans le tableau de gauche, les triangles obtenus sont tous « presque » rectangles, mais aussi « presque » isocèles : la « presque » hypoténuse et un côté de l’angle « presque » droit diffèrent d’exactement une unité. Dans le tableau de droite apparaît le triangle isocèle « presque » rectangle (5 ; 5 ; 7).
On connaît également des solutions de l’équation x 2 + y 2 = z 2 – 1. Le tableau suivant en propose plusieurs.
Sur une planche à clous, les clous sont disposés aux sommets d’un quadrillage à mailles carrées, que l’on supposera aussi grand que nécessaire. L’unité de longueur est le côté d’une maille du quadrillage.
Il est facile de réaliser un triangle rectangle à côtés entiers en plaçant un élastique autour de trois clous. Le triangle ABC en fournit un premier exemple : le triangle (3 ; 4 ; 5). Le triangle DEF, c’est-à-dire (5 ; 12 ; 13), en constitue un autre.
Q1Question 1 sur 3À faire
Est-il possible de former sur la planche à clous un triangle rectangle à côtés entiers dont aucun côté ne soit horizontal ni vertical ?
Revenons maintenant aux triangles « presque » rectangles.
Q2Question 2 sur 3À faire
Est-il possible de former sur la planche à clous un triangle presque rectangle à côtés entiers ?
Q3Question 3 sur 3À faire
Est-il possible de trouver trois sommets du quadrillage tels que les longueurs réelles des côtés du triangle formé soient des solutions de l’équation x 2 + y 2 = z 2 ± 1 ?