Des ellipses aux superellipses

Si le cercle est une ellipse particulière, les ellipses peuvent être considérées comme des cas particuliers d’une classe de courbes plus générales qui peuvent être qualifiées de superellipses.

L’aire $AA$ de la portion de plan située à l’intérieur d’une ellipse peut se calculer de plusieurs manières. On peut utiliser le calcul intégral (voir en page 32), mais il existe aussi une formule simple : A = π ab , où a et b désignent le demi-grand axe et le demi-petit axe de l’ellipse. Lorsque a = b = r , où r désigne le rayon, on retrouve, bien sûr, l’aire du disque.

Le mathématicien suisse Jakob Steiner posa les deux problèmes suivants.

Prenons comme exemple les ellipses circonscrite et inscrite dans un triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 et dont l’aire est de 6 unités.

Le cercle inscrit dans un triangle équilatéral de côté c a pour rayon $\sqrt{3}c\mathrm{/}6,\backslash sqrt\{3\}c/6,$ le disque ayant pour aire π c 2 /12, et son cercle circonscrit a un rayon deux fois plus grand, l’aire du disque valant quant à elle le quadruple de celle du disque inscrit.

Si vous tapez le mot « superellipse » dans un moteur de recherche, la première page qui vous sera proposée ne sera pas une page de mathématiques, mais une page consacrée à du mobilier. Ce mot a, en effet, été adopté par des designers, notamment du nord de l’Europe.

Piet Hein (1905-1996) est un physicien danois. Il est aussi poète, co-inventeur du jeu de Hex, créateur de nombreuses récréations mathématiques, et considéré par les designers comme un des leurs.

Dans les années 1950, la ville suédoise de Stockholm décide de rénover un vieux quartier de la ville. Les architectes en charge du projet souhaitent construire le nouveau quartier autour d’une place de forme ovale. Ils s’adressent à Piet Hein pour lui demander conseil.

Hein leur suggère de construire cette place en utilisant une courbe définie par une équation du type ${\mid {\displaystyle \frac{x}{a}}\mid }^n+{\mid {\displaystyle \frac{y}{b}}\mid }^n=1\backslash left|\{\; \backslash dfrac\{x\}\{a\}\}\backslash right|^n\; +\; \backslash left|\{\; \backslash dfrac\{y\}\{b\}\}\backslash right|^n\; =1$ avec n = 2,5, où x et y désignent les coordonnées et n l’exposant. Il appelle de telles courbes des superellipses.

Ces courbes étaient en fait connues depuis longtemps. Le mathématicien français Gabriel Lamé (1795-1870) les a décrites en 1818.

Lorsqu’on fait varier n de 2 vers l’infini, on se rapproche de plus en plus d’un rectangle. Dans l’autre sens, lorsque n varie de 2 vers 1, on se rapproche de plus en plus d’un losange, que l’on atteint pour n = 1. Ensuite pour 0 < n < 1, les flancs de l’ellipse se creusent et l’aire intérieure de la courbe diminue jusqu’à disparaître.