Des couleurs et des bidons

Trois coordonnées sont nécessaires pour positionner un point P dans l’espace. Lorsque leur somme est constante, P se situe dans un plan, un espace à deux dimensions. Comment y représenter les trois coordonnées ? À l’aide des coordonnées trilinéaires !

Vous mélangez des peintures à partir des trois couleurs suivantes : rouge, bleu et vert. La teinte obtenue dépend des proportions du mélange. Un modèle pratique de cette situation est le cube RGB (red, green, blue), conçu pour l’affichage des couleurs sur un écran.

Les trois axes de coordonnées correspondent aux trois couleurs primaires : rouge, vert et bleu. Pour définir une couleur, il faut tenir compte de deux paramètres, la teinte et la luminosité. Dans le cube, la luminosité se gradue sur un axe reliant les points (0, 0, 0) et (1, 1, 1), du noir au blanc.

Si l’on ne s’intéresse qu’à la teinte, en faisant abstraction de la luminosité, on se place dans le plan du triangle Rouge-Vert-Bleu, dans lequel les trois coordonnées ont une somme constante égale à 1 (ou 100 %). Le mélange peut alors être représenté dans un triangle.

Ce triangle des couleurs a été imaginé par le physicien et mathématicien écossais James Clerk Maxwell (1831-1879). Tout point intérieur au triangle correspond à un mélange des trois couleurs. Ses trois coordonnées indiquent les proportions respectives des couleurs, dont la somme est égale à 1.

Le type de problème qui suit apparaît en 1240 dans un texte des Annales de la ville allemande de Stade, près de Hambourg. Il serait dû à l’abbé Albert Abbot.

On dispose de trois récipients non gradués de capacités respectives huit litres, cinq litres et trois litres. Au départ, le récipient de huit litres est plein d’huile ou de vin, tandis que les deux autres sont vides.

La seule opération permise consiste à verser le contenu d’un récipient A dans un récipient B jusqu’à ce que le récipient B soit plein ou que le récipient A soit vide.

Dans chacun des deux cas suivants, seul le premier récipient est plein au départ et son contenu doit être partagé en deux parts égales : récipients de 12 L, 7 L et 5 L ; récipients de 16 L, 12 L et 7 L.