Des cascades numériques

Le domaine numérique permet de composer d’harmonieux motifs en cascade. Existe-t-il des relations sous-jacentes permettant de les prévoir et d’en concocter d’autres ?

Dans cette cascade numérique, la multiplication par 9…9 produit des motifs répétitifs. Comment l’expliquer ?

À la n-ième ligne de la cascade, où n désigne un nombre entier naturel non nul, on a : \begin{align } 4\ldots 4\times 9\ldots 9& =(4\times 1\ldots 1)\times 9\ldots 9\cr & = \left ( 4\times \frac{10^n-1}{9}\right )\times (10^n-1) \cr & = \frac{4\times 10^{2n}}{9}- \frac{8\times 10^n}{9}+\frac{4}{9}. \end{align }

Ainsi, pour n = 3, par exemple, on aura, pour résultat :

L’opération a fait « disparaître » la partie décimale des quotients.

Pour un entier k compris entre 1 et 9 et un entier naturel non nul n représentant le numéro de la ligne, les cascades de ce type se justifient, dans le cas général, par l’égalité suivante : $(\frac{k\times {10}^n}{9}-\frac{k}{9})\times ({10}^n-1)=\frac{k\times {10}^{2n}}{9}-\frac{2k\times {10}^n}{9}+\frac{k}{9}\backslash left\; (\; \backslash frac\{k\backslash times\; 10^n\}\{9\}-\backslash frac\{k\}\{9\}\; \backslash right\; )\; \backslash times\; (10^n-1)\; =\; \backslash frac\{k\backslash times\; 10^\{2n\}\}\{9\}\; -\; \backslash frac\{2k\backslash times\; 10^n\}\{9\}+\backslash frac\{k\}\{9\}$ Dans l’exemple précédent, k = 4.

D’autres multiplications fournissent également d’intéressantes régularités.

Dans cette nouvelle égalité, n est un nombre entier non nul, et a et b peuvent prendre les valeurs 1, 2 ou 3, la valeur 3 ramenant à l’égalité précédente : $(\frac{a\times {10}^n}{3}-\frac{a}{3})\times (\frac{b\times {10}^n}{3}-\frac{b}{3})=\frac{ab\times {10}^{2n}}{9}-\frac{2ab\times {10}^n}{9}+\frac{ab}{9}\mathrm{.}\backslash left\; (\; \backslash frac\{a\backslash times\; 10^n\}\{3\}-\backslash frac\{a\}\{3\}\; \backslash right\; )\backslash times\; \backslash left\; (\; \backslash frac\{b\backslash times\; 10^n\}\{3\}-\backslash frac\{b\}\{3\}\; \backslash right\; )\; =\; \backslash frac\{ab\backslash times\; 10^\{2n\}\}\{9\}\; -\; \backslash frac\{2ab\backslash times\; 10^n\}\{9\}\; +\; \backslash frac\{ab\}\{9\}.$

En prenant a = 1 et b = 2, on obtient la cascade suivante : 33...3 × 66...6 = 22...2177...78 ,

Son sommet est constitué par l’égalité 3 × 6 = 18. Dans le produit de gauche, chacun des deux facteurs comprend n chiffres : n chiffres « 3 » pour le premier et n chiffres « 6 » pour le second. Le résultat à droite est composé de n – 1 chiffres « 2 » et de n – 1 chiffres « 7 ».

Ainsi, pour n = 3, on obtient :