Des chiffres et des lettres : des calculs dans des poèmes indiens

L’alphabet sanskrit a été utilisé de différentes manières pour représenter les nombres. D’Āryabhaṭa à nos jours, cela permet de créer des poèmes mnémotechniques pour les tables des sinus ou encore pour les décimales du nombre π.

L’alphabet sanskrit se récite d’une manière beaucoup plus rigoureuse que le nôtre, selon un ordre phonétique logique qui invite à la métaphore mathématique. Au début du VIe siècle, le mathématicien Āryabhaṭa en tire une numération alphabétique : les voyelles représentent les puissances de 10, les consonnes plosives, de ka à ma, représentent les nombres de 1 à 25, et les consonnes non plosives, de ya à ha, représentent les nombres de 30 à 100, de dix en dix.

Āryabhaṭa utilise cette numération dans des vers de six « mots » qui codent une table trigonométrique. Le premier vers et sa transcription numérique sont : makhi bhakhi phakhi dhakhi ṇakhi ñakhi 225 224 222 219 215 210

Ces nombres sont des valeurs approchées correspondant, à un coefficient multiplicateur près, à notre fonction sinus. Le nombre 225 est la valeur de ce sinus pour l’angle 90 × 1/24, soit 3,75° : c’est makhi. La différence sin(90 × 2/24) − sin(90 × 1/24) donne ensuite 224 : c’est bhakhi. La différence suivante, sin(90 × 3/24) − sin(90 × 2/24), vaut 222 : c’est phakhi. Et ainsi de suite.

Āryabhaṭa peut ainsi retenir les différences consécutives du sinus des angles grâce à des assonances qui favorisent la mémorisation.

Le système d’Āryabhaṭa a une limite : il ne produit pas de vrais mots. Un système plus souple est ensuite mis au point ; sa plus ancienne trace connue remonte à 683, chez l’astronome Haridatta. Dans ce système, seules les consonnes comptent : le jeu des voyelles permet donc de coder un même nombre de différentes façons. Le nombre 1, par exemple, peut s’écrire avec les consonnes ka, ta, pa ou ya — d’où le nom de système Kaṭapayādi — mais aussi avec ska, pta, mya, etc.

À la fin du XIVe siècle, Madhava de Sangamagrama écrit ainsi que le sinus de 3,75°, dans sa définition ancienne, vaut śreṣṭhaṁ nāma variṣṭhānāṁ, soit 0224′50″22‴.

Le texte de la table du sinus de Madhava est un véritable poème mnémotechnique : « Le meilleur du meilleur est l’Himalaya, la source des Védas »…

En 1819, l’astronome Sankara Varman (1774-1839) écrit le vers : syād bhadrāmbudhisiddhajanmagaṇitaśraddhā sma yad bhūpagīḥ (« Que soit béni le palais du roi, qui fut enrichi par la splendeur née de l’océan, et que l’on se rappelle comme favorable »). En supprimant le syād initial, le décodage donne :

On obtient ainsi le nombre π avec ses 17 premières décimales, lues de droite à gauche.