De Fermat à Cauchy

En 1636, Fermat affirme que tout nombre entier naturel non nul est la somme d’au plus n nombres polygonaux formés sur la base d’un polygone régulier à n côtés. Il dit en avoir une démonstration, mais ne la donne pas faute de place pour la présenter. Il faudra attendre presque deux siècles avant qu’une démonstration complète du théorème soit proposée par Cauchy.

En 1750, Leonhard Euler démontre le théorème dans le cas des nombres pentagonaux. En 1770, Joseph-Louis Lagrange donne une démonstration pour le cas des carrés, déjà conjecturé par Claude-Gaspar Bachet de Méziriac en 1621. En 1796, Gauss traite le cas des nombres triangulaires et précise également le nombre de telles représentations pour chaque entier. Enfin, en 1813, Cauchy vient à bout du cas général.

Dans ces théorèmes, l’expression « au plus » est importante : pour k > 4, lorsqu’on s’aventure vers de grands nombres, le nombre maximal théorique de nombres k-gonaux non nuls devient de moins en moins fréquemment nécessaire. Dans plusieurs cas, ce maximum théorique ne s’impose que pour un nombre fini d’entiers, même si cela n’est parfois encore qu’une conjecture.

Tout nombre entier est la somme d’au plus trois nombres triangulaires. Certains entiers non triangulaires peuvent être écrits comme sommes de seulement deux nombres triangulaires, par exemple 2, 4, 7, 9, 11, 12, 13, 16, 18, 20 et 22. En revanche, 5, 8, 14, 17, 19, 23 et 26 ne peuvent pas être écrits comme sommes de moins de trois nombres triangulaires.

La clé de la distinction entre ces deux suites, explicitée par Gauss, est la suivante : un nombre n non triangulaire peut s’écrire comme une somme d’exactement deux nombres triangulaires si et seulement si tous les facteurs premiers congrus à 3 modulo 4 du nombre 4 n + 1 apparaissent avec un exposant pair.

Certains nombres ne peuvent pas s’écrire comme sommes de moins de quatre carrés non nuls : 7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, ... Gauss a démontré que l’ensemble de ces nombres coïncide avec l’ensemble des nombres de la forme 4* a (8 k + 7), où a et k sont des entiers naturels.

Un autre théorème, dû à Fermat, énonce que tout nombre premier congru à 1 modulo 4 peut s’écrire comme une somme de deux carrés, et ce d’une seule façon. De nombreuses conjectures subsistent sur le nombre de termes nécessaires et le nombre de représentations d’entiers naturels par des sommes de carrés tous distincts ou deux à deux premiers entre eux.

On ne connaît que six entiers qui ne peuvent pas s’écrire comme une somme de moins de cinq nombres pentagonaux. Le plus petit d’entre eux est 9 et le plus grand 89. Les entiers ont été testés jusqu’à plusieurs millions sans qu’un autre soit découvert.

Il n’existe que deux entiers naturels qui nécessitent six termes pour être écrits comme sommes de nombres hexagonaux : 11 et 26.

Il n’existe également qu’un nombre fini d’entiers qui nécessitent au moins cinq nombres hexagonaux : 5, 10, 11, 20, 25, 26, 38, 39, 54, 65, 70, 114 et 130.

Dans ce cas, on sait que la suite est complète. En effet, Legendre a démontré en 1830 que tout nombre entier plus grand que 1791 peut s’écrire comme une somme d’au plus quatre nombres hexagonaux, et les nombres compris entre 130 et 1791 peuvent tous s’écrire comme des sommes d’au plus quatre nombres hexagonaux.

On pense également que le nombre d’entiers naturels dont l’écriture sous la forme de nombres hexagonaux nécessite au moins quatre termes est fini, mais on n’en a pas la preuve.

Le plus grand entier connu ne pouvant pas s’écrire comme une somme de moins de quatre nombres hexagonaux est 146 858.