Un cachottier au cachot

L'Institut intergalactique est le temple de l'excellence, où exerce le redouté professeur Phi. On y trouve encore un cachot pour y enfermer les éléments perturbateurs et les élèves indisciplinés.

Cela peut paraître curieux dans un établissement qui se veut progressiste et bienveillant, mais le bâtiment est doté d’un cachot. La pièce ne possède ni murs de pierre suintants, ni chaînes, ni rats : elle ressemble plutôt à une salle de classe située au sous-sol, dont les fenêtres ont été remplacées par un soupirail. Dans l’esprit des étudiants, il s’agit pourtant bel et bien d’un cachot, où l’on trouve même des instruments de torture.

Le cachot est occupé par le malheureux Bêta. Après s’être assoupi pendant le cours de mathémagie, il a répondu « Laisse-moi dormir, maman » au professeur Phi venu le réveiller. Vexé d’être assimilé à une figure maternelle, Phi a condamné son élève au cachot.

Après avoir conduit Bêta au cachot, Phi ouvre l’armoire aux instruments de torture et en tire un objet en plastique.

« Monsieur Bêta, vous avez le choix : soit vous me libérez entièrement cette règle sans rien casser, soit vous me calculez le nombre de manipulations nécessaires pour y arriver. Après, seulement, vous aurez le droit de sortir. »

Après une demi-heure d’efforts, Bêta voit apparaître sa camarade Epsilon au soupirail. Tous les boutons sont de nouveau verticaux et bloquent la règle. Il lui demande comment les faire tous passer à l’horizontale et dans quel ordre les manipuler.

Epsilon propose de formaliser le casse-tête. Un mouvement désigne uniquement la rotation d’un bouton ; les déplacements de la réglette ne sont pas comptés. S’il n’y avait qu’un seul bouton, il suffirait de le faire pivoter en un mouvement. Avec deux boutons, il faudrait faire pivoter B (1), le premier bouton, puis B (2), le deuxième bouton : deux mouvements suffiraient.

Avec trois boutons, il faut commencer par faire pivoter B (1), puis tirer la règle jusqu’à pouvoir faire pivoter B (3), le troisième bouton. Faire pivoter B (2) à ce moment empêcherait de poursuivre. Il faut donc déplacer la règle, refaire pivoter B (1), puis faire pivoter B (2) et enfin B (1). Cela représente cinq mouvements.

Bêta se met aussitôt à manipuler le casse-tête, mais Epsilon voudrait trouver une formule donnant le nombre de manipulations nécessaires pour dégager la règle en fonction du nombre de boutons. La procédure permet d’établir une relation de récurrence, en traitant différemment les cas pairs et impairs. Bêta, déjà en route vers la liberté, ne l’écoute plus.