Remplir l'espace sans casser d'œufs

Saviez-vous qu’il est possible de paver l’espace avec une combinaison de polyèdres réguliers ?

Des cinq polyèdres réguliers, un seul permet à lui seul de paver l’espace : le cube. Mais il est également possible de paver l’espace sans laisser de vides avec une combinaison de deux ou plusieurs polyèdres réguliers : c’est un « pavage semi-régulier » de l’espace.

La construction utilise des octaèdres réguliers et des tétraèdres réguliers. Il s’agit du seul pavage semi-régulier de l’espace.

Commençons par construire une couche d’octaèdres réguliers, disposés comme l’indique la figure et en nombre infini dans les deux directions horizontales.

Insérons ensuite des tétraèdres réguliers dans chaque angle solide formé par deux octaèdres adjacents. Ces tétraèdres apparaissent en bleu sur le dessin.

On obtient un solide dont les faces inférieure et supérieure ressemblent à des alvéoles de boîtes à œufs. Insérons alors une nouvelle couche de tétraèdres : leurs pointes occupent exactement l’espace disponible entre les tétraèdres. On peut ainsi remplir tout l’espace, sans trou, couche après couche.

En utilisant cette méthode, construisons des octaèdres pleins de plus en plus grands à partir de petits octaèdres réguliers et de petits tétraèdres réguliers.

De gauche à droite, la figure présente : • un octaèdre unique, appelé octaèdre de base ; • un octaèdre de dimension double, constitué de six octaèdres de base et de huit tétraèdres de base ; • un octaèdre de dimension triple, constitué de dix-neuf octaèdres de base et de trente-deux tétraèdres de base.

On pourrait continuer cette suite en construisant des octaèdres d’arêtes 4, puis 5, puis 6… Ces constructions utiliseraient les nombres d’octaèdres et de tétraèdres figurant dans le tableau. Le rapport « nombre de tétraèdres / nombre d’octaèdres » semble tendre vers une limite, ce qui confirmerait la réponse à la première question.