Quadriges et compagnie

Multiplier entre eux des nombres entiers consécutifs non nuls, quoi de plus simple ? Ce thème recèle pourtant quelques questions auxquelles les mathématiciens se sont confrontés.

Paul Erdős s’est intéressé aux produits de nombres entiers consécutifs. Dans une note datant de 1939, publiée dans The Journal of the London Mathematical Society, il démontre que le produit d’au moins deux nombres entiers consécutifs strictement positifs n’est jamais un carré. Il cite également ce qui n’est alors qu’une conjecture : un tel produit n’est jamais une puissance d’un entier d’exposant strictement supérieur à 1. Il démontrera cette conjecture dans un article publié en 1975 avec le mathématicien américain John Lewis Selfridge (1927-2010).

Appelons quadrige un nombre égal au produit de quatre entiers naturels consécutifs non nuls, augmenté de 1.

Par exemple, $5\times 6\times 7\times 8+1=16815\; \times \; 6\; \times \; 7\; \times \; 8\; +\; 1\; =\; 1681$ est un quadrige. On observe que $16811681$ est le carré d’un nombre entier : $1681={41}^{2}1681\; =\; 41^2$.

On pourra éventuellement s’aider de la preuve sans mots représentée ci-dessous.

D’autres questions amusantes peuvent être posées à propos des quadriges.

Pour tout entier naturel non nul $nn$, désignons par $Q(n)Q(n)$ le quadrige $n(n+1)(n+2)(n+3)+1n(n\; +\; 1)(n\; +\; 2)(n\; +\; 3)\; +\; 1$.

On observe que $Q(2)=1\times 3\times 5\times 7+2^4=121Q(2)\; =\; 1\; \times \; 3\; \times \; 5\; \times \; 7\; +\; 2^4\; =\; 121$ et que $Q(3)=1\times 4\times 7\times 10+3^4=361Q(3)\; =\; 1\; \times \; 4\; \times \; 7\; \times \; 10\; +\; 3^4\; =\; 361$.

On constate que $Q(1)+Q(2)+Q(3)=25+121+361=507=3\times {13}^{2}Q(1)\; +\; Q(2)\; +\; Q(3)\; =\; 25\; +\; 121\; +\; 361\; =\; 507\; =\; 3\; \times \; 13^2$.