Pick et Pick et caetera - Le théorème de Pick pour calculer les aires polygonales

Découvrez le théorème de Pick pour calculer l'aire d'un polygone sur quadrillage en comptant simplement des points, et ses extensions par comptage d'arêtes.

Mesurer des aires sans calculs, en comptant simplement des points, c’est possible pour des polygones dont tous les sommets sont des intersections de lignes d’un plan quadrillé, avec une formule énoncée en 1899 par le mathématicien autrichien Georg Pick. Mais au lieu de compter des points, on peut aussi compter des arêtes du quadrillage.

La formule de Pick permet de calculer l’aire d’un polygone dont tous les sommets sont à coordonnées entières en comptant les points à coordonnées entières situés sur le pourtour et ceux situés à l’intérieur du polygone.

Dans cette formule, A désigne l’aire du polygone, i le nombre de points intérieurs et b le nombre de points du pourtour. La formule est valable pour tout polygone sans trou.

L’aire d’un tel polygone est obligatoirement un nombre entier ou la moitié d’un nombre entier.

Dans l’exemple de cette figure, on compte 20 points sur le pourtour, en rouge, et 16 points intérieurs, en bleu. L’aire de cette cocotte vaut donc 16 + 20/2 – 1 = 25 cm².

Dans ce qui suit, nous considérons des polygones entièrement décomposables en triangles rectangles dont les côtés de l’angle droit sont l’un horizontal et l’autre vertical.

Dans ce poisson, I désigne la somme des longueurs des arêtes horizontales intérieures au polygone, en rouge sur le dessin, et P la somme des longueurs des arêtes horizontales du pourtour, en vert sur le dessin. Nous avons : I = 13 et P = 3.

L’aire A du poisson est égale à I + P /2, soit ici 13 + 3/2 = 14,5, l’unité d’aire étant l’aire d’un carré élémentaire du quadrillage.

Les sommets du polygone étant des points à coordonnées entières, P est obligatoirement un nombre entier, et il en est de même pour I, même si certaines longueurs s’expriment par un nombre rationnel.

Si nous avons considéré les longueurs des arêtes horizontales, nous aurions pu considérer les arêtes verticales.

La formule utilisée peut se justifier en considérant un triangle rectangle.