Opération 2018

Pour fêter l’année 2018, voici quelques opérations à reconstituer, où le nouveau millésime va intervenir, même si on ne s’en doute pas.

Comme dans toute addition mystère, chaque lettre représente un chiffre et chaque chiffre est toujours représenté par la même lettre, ou par lui-même. Aucun nombre ne commence par 0.

$NN$ est un nombre de deux chiffres : il s’écrit $ABAB$ en écriture décimale, où $AA$ est son chiffre des dizaines et $BB$ son chiffre des unités. On multiplie $NN$ par un certain nombre $PP$.

Le résultat est un nombre de six chiffres qui s’écrit $14AB1414AB14$.

$NN$ est un nombre de trois chiffres : il s’écrit $ABCABC$ en écriture décimale, où $AA$, $BB$ et $CC$ sont respectivement ses chiffres des centaines, des dizaines et des unités. On le fait suivre du nombre suivant pour former un nombre $PP$ de six chiffres, $ABCABDABCABD$, où $D=C+1D\; =\; C\; +\; 1$.

L’usage d’une calculatrice est conseillé ; celui d’un ordinateur n’est plus du jeu.

$NN$ est un nombre entier ayant une intéressante propriété : si on lui enlève 2018 ou si on lui ajoute 2018, on trouve chaque fois un carré parfait.

On appelle nombre « sandwich » un nombre de $3n3\; n$ chiffres dont la tranche centrale, formée par les $nn$ chiffres centraux, est égale à la somme de la tranche du début, formée par les $nn$ premiers chiffres, et de la tranche finale, formée par les $nn$ derniers chiffres.