Énoncé
Vous êtes sur une plage de Bretagne, au soleil. Depuis votre emplacement, vous observez le tracé de la côte : les rochers qui bordent la plage, les baies et les pointes.
Une route suit la côte, mais elle prend des raccourcis entre deux baies ; vous en apercevez tout au plus une quinzaine de kilomètres de part et d’autre de votre position. Si l’on suit la côte à pied, en longeant la mer, combien parcourrait-on entre les deux points extrêmes offerts à votre vue ? Beaucoup plus, certainement. Et qu’en serait-il pour une fourmi qui longerait elle aussi le bord de l’eau, en faisant abstraction du ressac et des marées qui rendent la limite entre mer et terre très fluctuante ?
Le tracé de la côte de Bretagne fut une des sources d’inspiration de Benoît Mandelbrot (voir Tangente 138) pour créer les fractales, objets mathématiques présentant des propriétés d’autosimilarité, ou d’invariance d’échelle. Une image du tracé de la côte sans autre indication ne permet pas de déterminer son échelle.
Comme tout modèle mathématique, la représentation d’une côte comme une fractale ne correspond à la réalité que dans un certain intervalle. À l’échelle atomique, un tel modèle n’a évidemment plus aucune signification. On associe généralement aux fractales une dimension d’homothétie, qui est généralement non entière.
Prenons la courbe de von Koch (voir Tangente 128). À chaque étape, chaque pointe subit une homothétie de rapport 1/3, tandis que le nombre de segments de la courbe est multiplié par 4. La longueur de la courbe est par conséquent multipliée par 4/3.
La dimension fractale de cette courbe est définie comme le nombre réel d tel que 4 = 3d. Une côte relativement découpée comme celle de Bretagne a une dimension fractale comprise entre 1,25 et 1,40.
Q1Question 1 sur 2À faire
Calculez la dimension fractale d du flocon de von Koch.
Q2Question 2 sur 2À faire
Comparez cette dimension avec celle d’une côte découpée comme celle de Bretagne.
Un séjour à la plage peut inspirer d’autres idées en observant tout simplement… le sable. Archimède s’est déjà posé le problème de majorer le nombre de grains de sable qui empliraient l’univers. Dans son ouvrage l’Arénaire, le savant voulait démontrer que ce nombre était fini, bien que très grand (voir Tangente 150). D’autres ont tenté de comparer le nombre de grains de sable sur la Terre et le nombre d’étoiles dans l’univers observable. Là encore, il faut modéliser la situation.
On peut dénombrer environ 400 milliards de galaxies, et une galaxie contient un nombre d’étoiles de l’ordre de 250 milliards. On arrive ainsi à un nombre potentiel d’étoiles de l’ordre de 10 23.
L’estimation du nombre de grains de sable sur la Terre n’est pas plus facile. La dimension des grains n’est pas uniforme : le diamètre des grains d’un sable très fin peut varier de 0,02 mm à 0,2 mm et atteindre 2 mm pour des sables plus grossiers. Entre le volume d’un grain de 0,02 mm et celui d’un grain de 2 mm, le rapport est de un à un million. Il est par ailleurs difficile d’évaluer le volume de sable à la surface de la Terre, rivages marins et déserts confondus.
Si les grains de sable étaient sphériques et calibrés, on pourrait en évaluer le nombre dans un mètre cube bien tassé. Depuis la démonstration de la conjecture de Kepler, on sait qu’un empilement de sphères identiques occupe au maximum un pourcentage de l’espace égal à 100 π / (3√2), soit environ 74 %. En réalité, un sable bien tassé peut occuper bien plus, les petits grains comblant les vides entre les gros…
