Magie hexagonale

Si le carré occupe une place prépondérante dans la magie arithmétique, l’hexagone a lui aussi été exploré par les mathématiciens, professionnels comme amateurs.

La structure hexagonale, en nid d’abeilles, présente des alignements de cases dans trois directions. À partir d’un hexagone unique, on peut entourer cet hexagone d’une ou plusieurs couches d’hexagones identiques. On obtient ainsi des configurations d’ordre 2, 3, 4, etc. L’ordre est le nombre d’hexagones sur un côté de la structure.

Une figure est magique si l’on écrit un nombre entier dans chaque case de telle sorte que la somme des nombres de n’importe quelle rangée soit toujours la même. Si les entiers utilisés sont les entiers consécutifs à partir de 1, la figure magique est dite normale.

L’hexagone d’ordre 1 est un cas trivial. Il n’existe pas d’hexagone magique normal d’ordre 2 : si $aa$, $bb$ et $cc$ désignent les valeurs indiquées sur la figure, l’égalité $a+b=a+ca\; +\; b\; =\; a\; +\; c$ impose $b=cb\; =\; c$. Toutes les cases du pourtour ne pourraient alors prendre que deux valeurs, et la case centrale devrait contenir le nombre 0 pour que les sommes de trois nombres soient égales aux sommes de deux nombres.