Les palindromes alpha et leurs cousins

Un nombre palindrome est un nombre entier qui se lit de façon identique de gauche à droite et de droite à gauche, comme 34843.

Certains nombres palindromes, notés n, ont la propriété que leur double 2 n est également un palindrome. Appelons-les des palindromes alpha. Les premiers sont : 1, 2, 3, 4, 11, 22, 33, 44, 101, 111, 121, 131, 141, 202, 212, 222, 232, 242, 303, 313, 323, 333, 343, 404, 414, 424, 434, 444, 1001, 1111, 1221, 1331, 1441…

L’itération est possible, par exemple : 121 → 242 → 484. Mais de telles chaînes sont limitées : si 121 et 242 sont bien des palindromes alpha, 484 ne l’est plus, car son double est 968, qui n’est pas un palindrome. On peut former des chaînes de deux palindromes alpha à partir des nombres 1, 2, 11, 22, 101, 111, 121, 202, 212, 222, 1001, 1111, 1221, 2002, 2112, 2222, 10001, 10101, 10201, 11011, 11111, 11211, 12021, 12121, 12221, 20002, 20102…

On peut également former des chaînes de trois palindromes alpha, mais les chiffres disponibles sont alors très limités. Les premiers nombres de ces chaînes sont 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, 101101, 110011, 111111, 1000001, 1001001, 1010101, 1011101…

On peut raisonnablement conjecturer qu’il n’existe pas de chaîne de plus de trois palindromes alpha.

Il existe également des nombres palindromes n tels que le nombre 2n + 1 soit aussi un palindrome. Nous appellerons ces nombres des palindromes alpha+. Les premiers sont 1, 2, 3, 4, 5, 55, 151, 161, 171, 181, 191, 252, 262, 272, 282, 292, 353, 363, 373, 383, 393, 454, 464, 474, 484, 494, 555, 5555, 15051, 15151…

Sur les 9 palindromes à deux chiffres, un seul est alpha+ : 55. Il existe 90 palindromes de trois chiffres, dont 20 sont alpha+. On dénombre également 90 palindromes de quatre chiffres, mais seul 5555 est alpha+. On peut conjecturer que les seuls palindromes alpha+ ayant un nombre pair de chiffres sont les nombres 55, 5555, 555555… Une recherche informatique permet de compter 100 palindromes alpha+ parmi les 900 nombres palindromes de cinq chiffres.

Comme pour les palindromes alpha, on peut rechercher des chaînes de palindromes alpha+. De telles chaînes existent. Pour les chaînes de deux termes, les premiers nombres de départ sont 1, 2, 181, 191, 18081, 18181, 19091, 19191, 1808081, 1809081, 1818181, 1819181…

Par exemple : 191 → 383 → 767, le nombre 767 étant simplement palindrome sans être alpha+. On conjecture qu’il n’existe pas de chaîne de trois palindromes alpha+ ou plus.

On peut, de la même façon, définir les palindromes alpha– comme des nombres palindromes n tels que 2 n – 1 soit aussi palindrome. Les premiers palindromes alpha– sont les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 66, 666…

On peut démontrer que tous les palindromes alpha– strictement supérieurs à 5 ne s’écrivent qu’avec le chiffre 6.