Les nombres autobiographiques

D’une certaine manière, l’entier 2020 se décrit lui-même ! Et il est loin d’être le seul nombre « autobiographique ».

Quelle est la particularité du nombre 6 210 001 000 ? Il est autodescriptif. Son premier chiffre, 6, indique que son écriture en base 10 contient six zéros. Son deuxième chiffre, 2, indique qu’elle contient deux chiffres 1. Elle contient également un chiffre 2 et un chiffre 6, mais aucun 3, 4, 5, 7, 8 ou 9.

De tels nombres existent dans toutes les bases de numération à partir de la base 4. Leur liste constitue la suite (1 210, 2 020, 21 200, 3 211 000, 42 101 000, 521 001 000, 6 210 001 000, 72 100 001 000, 821 000 001 000, 9 210 000 001 000…). Dans l’On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, ces nombres sont qualifiés d’« autobiographiques » et définissent la suite A046043.

Une autre suite du même site répertorie les paires de nombres qui se décrivent mutuellement selon le même principe.

Dans une base de numération donnée, chaque nombre de la colonne de gauche décrit l’entier correspondant de la colonne de droite, et réciproquement. Ainsi, 130 décrit le nombre 1 101, qui s’écrit avec un 0, trois 1 et aucun 2. Inversement, 1 101 décrit le nombre 130, qui s’écrit avec un 0, un 1, aucun 2 et un 3 en base 4.

Les nombres autodescriptifs de $bb$ chiffres dans la base $bb$ sont toujours divisibles par la somme de leurs chiffres dans la base considérée. Ainsi, 1 210, considéré comme l’écriture en base 4 du nombre 100, correspond bien à un nombre divisible par la somme de ses chiffres, à savoir 4.

Les entiers divisibles par la somme de leurs chiffres sont connus sous le nom de nombres Harshad, ce qui signifie en sanscrit « qui procure de la joie ». Ils ont été étudiés par le mathématicien indien Dattatreya Ramachandra Kaprekar.

Les nombres Harshad sont aussi appelés nombres de Niven. Ivan Niven était un mathématicien américano-canadien qui donna une conférence sur ces nombres lors d’un congrès mathématique en 1977.

Les premiers nombres Harshad sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201, 204…

Niven a également étudié les nombres divisibles par $as(n)+bas(n)+b$, où $s(n)s(n)$ désigne la somme des chiffres de l’entier $nn$, et où $aa$ et $bb$ sont des entiers naturels. Les nombres Harshad correspondent au cas $a=1a=1$ et $b=0b=0$.