Les espaces vectoriels, c'est ludique  !

Un espace vectoriel cher aux amateurs de jeux mathématiques est celui des carrés magiques. C’est l’occasion de mettre nos connaissances en application !

Traditionnellement, un carré magique d’ordre n est constitué de n² entiers écrits dans les cases d’un tableau n × n. Ces nombres sont disposés de telle sorte que leurs sommes sur chaque ligne, sur chaque colonne et sur chacune des deux diagonales principales soient toutes égales. Cette somme commune est appelée constante magique. Un carré magique est normal s’il est composé des entiers positifs de 1 à n².

Si l’on additionne case à case les nombres de deux carrés magiques du même ordre, le carré résultant est toujours magique, avec pour constante magique la somme de celles des deux carrés. Mais si les deux carrés additionnés étaient normaux, les nombres qui constituent le carré résultant ne sont en général pas tous distincts.

On peut également multiplier tous les nombres d’un carré magique par un même nombre, entier naturel, entier relatif, rationnel ou réel. L’ensemble des carrés magiques d’ordre n est un sous-ensemble de l’ensemble des matrices carrées n × n. Si les coefficients du carré magique sont des entiers relatifs, l’ensemble des carrés magiques d’ordre n, muni de l’addition case à case et de la multiplication par les entiers relatifs, a une structure de module sur l’anneau des entiers relatifs.

L’ensemble des matrices carrées magiques n × n à coefficients réels, muni de l’addition case à case et de la multiplication par un réel, a une structure d’espace vectoriel. C’est un sous-espace de l’ensemble des matrices carrées n × n. Sa dimension est égale à n(n – 2). Pour l’ordre 3, on a donc un espace vectoriel de dimension 3. Voici une base possible de cet espace vectoriel.

Pour les carrés d’ordre 4, la dimension est égale à 8. Vous en trouverez une base ci-dessous.