Les divisions de Midy

La division du nombre 1 par un nombre premier autre que 2 et 5 donne un développement décimal illimité périodique. Les chiffres de ces périodes présentent de fascinantes propriétés.

Posons la division de 1 par 7. Les restes successifs prennent toutes les valeurs possibles entre 1 et 6, jusqu’à ce que l’on retrouve le reste 1, grâce auquel est assurée la périodicité du développement. On a en effet 1/7 = 0,142857 142857 142857… Regardons de plus près les chiffres de la période.

Multiplions 142 857 par 1, 2, 3, 4, 5 et 6 : 142 857 × 1 = 142 857, 142 857 × 2 = 285 714, 142 857 × 3 = 428 571, 142 857 × 4 = 571 428, 142 857 × 5 = 714 285 et 142 857 × 6 = 857 142.

Les six produits s’obtiennent par les six permutations circulaires des chiffres de la période ! Un entier N de p – 1 chiffres est appelé nombre cyclique lorsque ses p – 1 produits par les nombres de l’ensemble {1, 2, …, p – 1} correspondent à toutes les permutations circulaires des chiffres de N.

Ces entiers sont liés aux développements en suites décimales illimitées des inverses des nombres premiers. L’inverse d’un nombre premier p n’a pas obligatoirement une période de p – 1 chiffres. En revanche, d’après le petit théorème de Fermat, la période de l’inverse d’un nombre premier p est toujours égale à un diviseur de p – 1.

En effet, si p est un nombre premier différent de 2 et de 5, alors 10 * p * –1 est congru à 1 modulo p. Autrement dit, en effectuant la division euclidienne de 10 * p * –1 par p, le dernier reste est égal à 1, même si ce n’est pas obligatoirement la première occurrence d’un reste égal à 1.

Une condition nécessaire pour que l’inverse d’un nombre premier p donne un nombre cyclique est que la période de son inverse comporte p – 1 chiffres. On pense qu’il existe une infinité de tels nombres premiers, mais on ne sait pas le démontrer !

Le mathématicien français Étienne Midy, né vers 1773 et professeur en classe de mathématiques spéciales à Nantes, publia dans les Nouvelles Annales de Mathématiques une démonstration de la propriété suivante : si p est un nombre premier et si 1 / p est une suite décimale illimitée périodique de période paire, alors les chiffres de la seconde moitié de la période sont les compléments à 9 des chiffres de la première moitié.

Ainsi :

1 / 13 = 076923 076923 076 923… La période compte six chiffres, un diviseur de 12, et 923 + 076 = 999.

Ou encore : 1 / 17 = 0588235294117647 0588235294117647… La période compte 17 – 1 = 16 chiffres, et 94 117 647 + 05 882 352 = 99 999 999.

La propriété mise en évidence par Étienne Midy peut se généraliser à des périodes multiples d’un entier donné. Prenons ainsi la période de 1/43, qui compte vingt et un chiffres, un diviseur de 43 – 1 = 42. Or, 21 = 7 × 3.

Divisons donc la période de 1 / 43 en groupes de sept chiffres et en groupes de trois chiffres, puis, dans chaque cas, additionnons tous les groupes.

C’est une extension du théorème de Midy ! Si k désigne un diviseur de la longueur de la période, les sommes des blocs successifs de k chiffres de cette période sont des multiples de 10 k – 1, le nombre formé de k chiffres 9.