Les carrés magiques d’Abū l-Wafā

Les carrés magiques sont nés en Chine. Ils ont ensuite essaimé et se sont développés en Inde, avant d’être plus systématiquement étudiés, sous toutes leurs formes, dans les pays d’Islam.

Un carré magique est un arrangement de nombres dans un carré de n cases sur n cases, où n désigne son ordre, tel que la somme des nombres d’une même rangée horizontale ou verticale, ainsi que celle des nombres de chacune des deux grandes diagonales, soit toujours la même. Lorsqu’un carré n × n est rempli avec les nombres entiers de 1 à n², il est dit normal.

Le Lo Shu, littéralement « diagramme de la rivière Lo », est né en Chine plus de six siècles avant notre ère. Premier carré magique connu, ce carré normal 3 × 3 est unique, aux rotations et symétries près.

L’un des plus anciens traités connus sur les carrés magiques est celui du mathématicien persan Abū l-Wafā al-Buzjanī (940-998), né à Buzjan, dans le nord de l’Iran actuel : le Livre de l’arrangement magique dans les carrés. Il décrit en détail des méthodes de construction de différents types de carrés magiques. Ces méthodes semblent avoir été connues avant le Xe siècle, mais Abū l-Wafā a pu en faire l’inventaire et surtout justifier mathématiquement leur validité.

On s’intéresse ici aux carrés magiques d’ordre impair dits à bordures, parfois appelés carrés magiques à enceintes. Dans un carré magique d’ordre impair n × n, où n ≥ 5, la suppression de la bordure, c’est-à-dire de toutes les cases du pourtour, laisse un carré qui demeure magique, sans être nécessairement normal.

Abū l-Wafā décrit plusieurs méthodes de construction de ces carrés. En voici une facile à mémoriser.

On part du Lo Shu et on ajoute 8 à chacun de ses nombres. Le carré 3 × 3 obtenu contient alors les nombres de 9 à 17. On construit autour de lui une bordure destinée à recevoir les nombres de 1 à 8 et de 18 à 25.

Les nombres 3, 4, 5 et 6 occupent des places particulières sur la bordure : 4 et 6 sont placés dans deux sommets, tandis que 3 et 5 sont placés dans deux cases médianes. Les nombres impairs restants, 1 et 7, vont dans les cases jaunes, et les nombres pairs restants, 2 et 8, dans les cases orange.

On complète la bordure de telle sorte que la somme de deux nombres situés aux extrémités d’une même grande diagonale, ou d’une même rangée horizontale ou verticale ne contenant pas de cases des diagonales, soit toujours égale à 26.

Dans ce carré 5 × 5, le carré intérieur 3 × 3 peut subir une rotation ou une symétrie sans que le caractère magique du carré 5 × 5 en soit affecté.

On ajoute maintenant une seconde bordure autour de ce carré 5 × 5, après avoir ajouté 12 à tous ses nombres : il devient le carré gris central. La nouvelle bordure doit recevoir les nombres de 1 à 12 et de 38 à 49.

Comme à l’étape précédente, les nombres 6 et 8, puis 5 et 7, occupent des places particulières dans les cases vertes, bleue et roses. Les nombres restants, 1, 3, 9, 11, 2, 4, 10 et 12, sont placés dans les cases jaunes et orange en fonction de leur parité.

On complète enfin les cases blanches restantes dans les diagonales, les lignes et les colonnes intérieures en plaçant les compléments à 50.

Il reste à vérifier cette procédure de construction sur le carré 9 × 9 suivant, obtenu en ajoutant une bordure au carré précédent après avoir augmenté ses termes de 16 unités.