Le nombre 6174 : la fascinante constante de Kaprekar

Explorez les algorithmes itératifs de Kaprekar sur les chiffres d’un nombre et découvrez comment on aboutit immanquablement à la célèbre constante 6174.

Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986) est un enseignant indien qui passa sa vie à effectuer des recherches sur les nombres entiers, qu’il présentait lors des congrès annuels des associations mathématiques indiennes. La plupart de ses travaux sont liés à l’écriture décimale des nombres.

La constante de Kaprekar

La publication la plus connue de Kaprekar, ensuite popularisée par Martin Gardner dans une de ses chroniques du Scientific American, concerne un algorithme sur les nombres entiers d’au plus quatre chiffres. Il aboutit à un état fixe, appelé « puits » : le nombre 6174, connu sous le nom de « constante de Kaprekar ». À partir d’un nombre de quatre chiffres non tous égaux, on réordonne ses chiffres du plus grand au plus petit, puis on inverse leur ordre — l’écriture obtenue peut commencer par un zéro — et on soustrait le plus petit nombre du plus grand.

En partant du nombre 7442, on effectue 7442 − 2447 = 4995, puis on recommence : 9954 − 4599 = 5355. Kaprekar a montré qu’en partant de n’importe quel nombre à quatre chiffres non tous égaux, on aboutit en au plus sept opérations au nombre 6174, qui vérifie 7641 − 1467 = 6174.

On a également étudié cet algorithme sur des nombres à trois chiffres non tous égaux : le nombre 495 constitue alors un puits. Pour les nombres à deux chiffres différents, on obtient un cycle, c’est-à-dire une suite qui se répète, formé de cinq nombres : 09 – 81 – 63 – 27 – 45.

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La première publication de Kaprekar à propos de 6174 date de 1946, mais il explora bien d’autres pistes. Dans une variante de son algorithme, il ne réordonne pas les chiffres : il inverse simplement l’écriture du nombre avant de soustraire le plus petit des deux nombres du plus grand. Comme le nombre d’écritures à quatre chiffres est fini, le procédé aboutit nécessairement à un puits ou à un cycle. Ici encore, on autorise le zéro comme premier chiffre.

Testons cette variante en partant de 6174. La première étape est 6174 − 4716 = 1458. On recommence : 8541 − 1458 = 7083, puis 7083 − 3807 = 3276. Les résultats successifs sont ensuite 3447, 3996, 2997, 4995, 0999, 8991, 6993, puis 2997. On arrive ainsi au cycle de cinq nombres 2997 – 4995 – 0999 – 8991 – 6993, qui se répète indéfiniment.

Kaprekar a cartographié l’ensemble des 10 000 nombres de 0000 à 9999. Il a montré qu’en dehors du puits 0000, il existe trois cycles de cinq nombres et un cycle de deux nombres. Le fait que ces cycles comportent tous deux ou cinq nombres est sans doute lié au système de numération décimale.

Pour un nombre à quatre chiffres écrit abcd, où a, b, c et d désignent ses chiffres dans cet ordre, Kaprekar a montré que le cycle atteint dépend uniquement des différences a − d et b − c. Si a − d = b − c = 0, le nombre est un palindrome et aboutit au puits noté A. Dans les autres cas, les nombres se répartissent entre les cycles en fonction de ces différences.