Le théorème de la ?zza

Quand le professeur Phi sort de son cours d'arts martiaux, ça en scie plus d'un. Mais toute situation est prétexte à un bon problème de maths pour ses élèves.

« Votre commande est arrivée, Monsieur. » Alpha s'empare de la boîte en carton que lui tend le robot-livreur avec un « Ah ! » de satisfaction. La soirée de révision dans la salle d'études de l'Institut intergalactique menace de s'éterniser et une petite pause pour contenter son estomac gargouillant est la bienvenue. Il ouvre le carton : une appétissante odeur de πzza pepperoni-fromage se répand dans la pièce.

« On partage ? » Le nez de Bêta n'a pas tardé à l'avertir de l'aubaine. Alpha accepte de bonne grâce : « Ok, je t'en donne la moitié. Il faut juste trouver un couteau pour la partager. »

« J'ai ce qu'il vous faut. » Le professeur Phi vient de se matérialiser devant les garçons ébahis. Sa tenue, une longue robe noire aux plis impeccables, ainsi que les zori en paille de riz qu'il porte à ses pieds, indiquent qu'il sort du dojo de l'Institut, où il s'entraîne quotidiennement. L'arme du jour bourdonne dans sa main : un sabre laser à l'éclat bleuté. En quelques gestes souples et précis, il trace quatre traits de coupe sur la πzza au moyen de son sabre.

« Bon appétit », lance-t-il avec un sourire méphistophélique aux deux étudiants stupéfaits, avant de s'éclipser. « Comment va-t-on faire pour la partager équitablement ? grogne Bêta en considérant la πzza ravagée. Il l'a coupée n'importe comment… — Pas tout à fait. »

C'est au tour d'Epsilon de faire son apparition à côté de la πzza, qui attire décidément beaucoup de monde.

« Les quatre droites de coupe forment huit angles égaux de 45°, fait-elle remarquer. Imaginons qu'Alpha prenne une première part, puis Bêta la suivante, et ainsi de suite, en tournant autour du point d'intersection jusqu'à ce qu'il ne reste plus rien. »

Devant le relatif manque d'enthousiasme de ses camarades pour les mises en équations, surtout lorsqu'elles impliquent des intégrales, la jeune fille s'empare d'un morceau de papier et enchaîne : « La surface de πzza dévolue à Alpha serait : $$\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}(r^2(\theta )+r^2(\theta +\pi \mathrm{/}2)+r^2(\theta +\pi )+r^2(\theta +3\pi \mathrm{/}2))d\theta \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash int\_0^\{\backslash pi/4\}\backslash left(r^2(\backslash theta)+r^2(\backslash theta+\backslash pi/2)+r^2(\backslash theta+\backslash pi)+r^2(\backslash theta+3\backslash pi/2)\backslash right)\backslash ,d\backslash theta$$

Bêta, lui, récupérerait : $$\frac{1}{2}{\int }_{\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}2}(r^2(\theta )+r^2(\theta +\pi \mathrm{/}2)+r^2(\theta +\pi )+r^2(\theta +3\pi \mathrm{/}2))d\theta \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash int\_\{\backslash pi/4\}^\{\backslash pi/2\}\backslash left(r^2(\backslash theta)+r^2(\backslash theta+\backslash pi/2)+r^2(\backslash theta+\backslash pi)+r^2(\backslash theta+3\backslash pi/2)\backslash right)\backslash ,d\backslash theta$$

« Mouais, marmonne Bêta, que tout cela laisse de marbre. Et alors ? — Alors, l'expression sous l'intégrale a quelque chose de particulier. Tu pourras le constater en la calculant pour $\theta =0\backslash theta=0$ en fonction du rayon $RR$ de la πzza, c'est-à-dire, sur le schéma, $P{D}^2+P{A}^2+P{C}^2+P{B}^{2}PD^2+PA^2+PC^2+PB^2$. »