Comment déterminer un polynôme P en connaissant seulement l'image des premiers entiers par P ? La méthode des différences finies permet de retrouver facilement le polynôme de plus petit degré.
Énoncé
Comment déterminer un polynôme en connaissant seulement l’image des premiers entiers par ? La méthode des différences finies permet de retrouver facilement le polynôme de plus petit degré.
Imaginons une table de Pythagore, c’est-à-dire une table de multiplication usuelle, mais infinie, permettant de multiplier n’importe quel entier par n’importe quel autre. On part de la case contenant 1, qui correspond au produit 1 × 1, puis on saute de case en case selon le mouvement d’un cavalier aux échecs.
Les valeurs des cinq premières cases visitées sont 1, 6, 15, 28 et 45.
Q1Question 1 sur 3À faire
Quel sera le vingt-et-unième terme de la suite 1, 6, 15, 28, 45, … ?
Si, pour tout entier , la valeur de la -ième case visitée est donnée par une fonction polynôme, on inscrit sur une première ligne les nombres de la suite. Sur une deuxième ligne, on reporte, dans l’ordre, les différences entre les valeurs successives de cette suite.
Sur une troisième ligne, on inscrit les différences successives entre les premières différences. On continue de la même manière jusqu’à obtenir une suite constante ; la ligne suivante n’est alors constituée que de 0.
Si la ligne de rang , où désigne ici le numéro de cette ligne, n’est constituée que de 0, alors le polynôme de plus petit degré prenant les valeurs de la première ligne est de degré .
Q2Question 2 sur 3À faire
Si l’on se déplace comme un chameau, pièce d’échecs féériques qui saute selon la diagonale d’un rectangle de deux cases sur quatre, quel sera le nombre contenu dans la vingt-et-unième case visitée ?
La méthode ne donne que le polynôme de plus petit degré admettant les valeurs données. Il existe cependant une infinité d’autres fonctions, polynomiales ou non, qui admettent ces mêmes valeurs.
Cette méthode correspond à des « dérivations successives dans l’ensemble des entiers ». Pour une fonction non polynomiale, les différences successives ne conduisent pas nécessairement à une constante.
Une droite partage le plan en deux régions. Deux droites non parallèles le partagent en quatre régions ; avec trois droites, il est partagé au maximum en sept régions et, avec quatre droites, en onze régions.
Le nombre maximal de régions déterminées par droites est une fonction polynomiale de , où désigne le nombre de droites.
Q3Question 3 sur 3À faire
Quel est le nombre maximal de régions déterminées par dix droites dans le plan ?