L'échiquier de Neper

L’inventeur des logarithmes fut aussi le créateur d’une méthode de calcul à l’aide de jetons sur un échiquier. Cette méthode figure dans son ouvrage Rabdologiae (1617), connu pour exposer le principe des « bâtons de Neper ».

Avec la méthode exposée par Neper dans son ouvrage Rabdologiae, un échiquier de taille habituelle, soit huit cases sur huit, permet d’effectuer des calculs jusqu’à 2⁸ – 1, c’est-à-dire jusqu’à 255. Un damier de plus grande taille permet bien sûr d’aller au-delà.

Le principe de l’addition est très simple : il consiste à effectuer le calcul en base 2. On décompose les nombres à additionner dans cette base, puis on place des jetons dans les colonnes correspondant au chiffre 1 ; les colonnes correspondant au chiffre 0 restent vides.

Prenons l’addition 91 + 45 + 53. Le nombre 91 se décompose en 2⁶ + 2⁴ + 2³ + 2¹ + 2⁰, ce qui correspond à l’écriture binaire 1011011. On place donc un jeton dans les 1re, 2e, 4e, 5e et 7e colonnes à partir de la droite. On procède de même pour 45 et 53.

On regroupe ensuite les jetons, colonne par colonne, sur l’avant-dernière ligne, par exemple. Puis on applique le principe des retenues de droite à gauche afin de ne jamais laisser plus d’un jeton par case sur la dernière ligne.

Lorsqu’une case contient plus d’un jeton, on remplace deux jetons par un seul, placé dans la case située immédiatement à gauche. On répète cette opération jusqu’à ce que chaque case contienne au plus un jeton. La dernière ligne donne alors l’écriture en base 2 du résultat de l’addition.

Les soustractions peuvent se faire d’une façon similaire. Lorsqu’on ne peut pas soustraire, on « emprunte » un jeton dans la case immédiatement à gauche en le doublant.

Le gain de temps n’est pas évident, mais il faut se rappeler qu’au XVIe siècle, la majorité de la population était illettrée et ne maîtrisait aucune technique de calcul.

Pour les multiplications, l’échiquier de Neper devient nettement plus performant. Il s’adresse là encore à un public n’ayant aucune connaissance des tables de multiplication.

Le multiplicande, c’est-à-dire le nombre à multiplier, est placé sur l’axe horizontal, dans la rangée du bas de l’échiquier. Le multiplicateur, c’est-à-dire le nombre par lequel on multiplie, est placé sur l’axe vertical, dans la colonne de droite. Les jetons du multiplicande sont répétés sur chaque ligne correspondant à un 1 du multiplicateur écrit en base 2 ; les lignes correspondant à un 0 restent vides.

On déplace ensuite tous les jetons selon une diagonale montante afin de les placer dans la dernière colonne.

On supprime enfin les jetons multiples en remplaçant systématiquement deux jetons par un seul jeton placé dans la case immédiatement supérieure. On poursuit jusqu’à ce que chaque case de la dernière colonne contienne au plus un jeton. On obtient alors la décomposition en base 2 du résultat, puis on additionne les puissances de 2 correspondant aux cases qui contiennent un jeton.

D’après son auteur, l’échiquier de Neper permettait aussi d’effectuer des divisions et des extractions de racines carrées, mais les procédures à utiliser deviennent nettement plus sophistiquées.