Groupons les tresses

Les groupes sont partout ! On les trouve même dans les tresses chères à nos bambins, sans parler des fabricants de cordages et autres artisans.

Les tresses les plus simples à réaliser nécessitent trois brins. Avec seulement deux brins, on ne peut réaliser qu’un enroulement, qui n’est pas une véritable tresse. Disposons ces brins verticalement : un brin gauche, un brin du milieu et un brin droit. Le schéma N représente la situation triviale des brins non tressés ; la tresse N sera l’élément neutre.

Dans ces schémas, les brins sont fixés en haut et les mouvements s’effectuent successivement avec leurs extrémités inférieures.

En dehors du mouvement neutre N, quatre mouvements élémentaires sont possibles : G consiste à passer le brin gauche sur le brin du milieu ; g, à passer le brin gauche sous le brin du milieu ; D, à passer le brin droit sur le brin du milieu ; d, à passer le brin droit sous le brin du milieu.

Un motif de tresse composé d’une suite de mouvements peut ainsi être codé par un mot. Par exemple, le mot GDGDGDGDGDG… correspond au tressage traditionnel à trois brins.

Pour comparer deux tresses, il suffit de tendre les brins entre le haut et le bas. Deux tresses sont dites isotopes si l’on peut passer de l’une à l’autre en déformant continûment les brins sans les couper : elles appartiennent alors à la même classe d’équivalence.

Les tresses codées par les mots Gg et gG sont toutes les deux isotopes à la tresse neutre N puisque, dans chaque cas, le second mouvement « annule » le premier. Les mots Dd, dD, GgGg, DdDd, GgDd… appartiennent également à cette classe neutre.

D’autres équivalences de mots peuvent être établies, par exemple DgD = GdG.

Les classes d’isotopie de tresses à trois brins sont munies d’une opération consistant à accoler brin à brin les tresses résultant de mouvements élémentaires. Elles forment alors un groupe dont l’élément neutre est la tresse triviale, sans aucun croisement. Ce groupe compte une infinité d’éléments puisque la longueur des tresses n’est pas limitée.

Le symétrique du mouvement D est le mouvement d : D –1 = d. De même, G –1 = g. Chaque élément du groupe possède donc un symétrique. L’opération consistant à accoler bout à bout les mouvements élémentaires est aussi, de façon naturelle, associative.

Les artisans du cuir savent depuis longtemps réaliser une tresse à trois brins dans une bande de cuir comportant seulement deux incisions, sans séparer les extrémités des brins.