Empiler des boulets de canon

Des questions pour les artilleurs et... les marchands d'oranges inspirent depuis plusieurs siècles les mathématiciens. Les empilements : un sujet canon !

Pour ranger des boulets de canon, le plus simple est de les empiler couche après couche, chacune contenant un nombre carré de boulets : en partant du haut, un boulet, puis quatre boulets, puis neuf boulets…

Si n désigne le côté du carré de base, le nombre total de boulets de la pyramide à base carrée est égal à n ( n + 1)(2 n + 1) / 6.

Le mathématicien français Édouard Lucas (1842–1891) s’est notamment intéressé aux valeurs de n pour lesquelles le nombre total de boulets d’une pyramide à base carrée est un carré.

Le nombre total de boulets d’une pyramide à base carrée peut aussi être un nombre triangulaire. Il n’y a que quatre possibilités : un boulet, cinquante-cinq boulets, quatre-vingt-onze boulets et deux cent huit mille trois cent trente-cinq boulets.

On peut aussi envisager un empilement en pyramide à base triangulaire, c’est-à-dire en tétraèdre, même s’il est moins facile et sans doute moins stable qu’un empilement à base carrée.

Si n désigne le côté du triangle de base, le nombre total de boulets de la pyramide à base triangulaire est égal à n ( n + 1)( n + 2) / 6.

Ce nombre total n’est un carré que dans trois cas : un boulet, quatre boulets ou dix-neuf mille six cents boulets.

Le nombre total de boulets d’une pyramide à base triangulaire peut lui aussi être un nombre triangulaire. Il n’y a que cinq possibilités : un boulet, dix boulets, cent vingt boulets, mille cinq cent quarante boulets ou sept mille cent quarante boulets.