Du chiffre de la Bête aux repdigits : 666, roi des nombres magiques

Découvrez les repdigits, ces nombres formés d'un seul chiffre répété, et le fascinant cas du 666, « chiffre de la Bête », qui s'avère être le plus grand repdigit triangulaire.

Un repdigit est un entier qui s’écrit avec un seul chiffre plusieurs fois répété, comme le fameux 666, le « chiffre de la Bête » de l’Apocalypse. Divers liens sont possibles avec d’autres ensembles de nombres tels que les carrés parfaits ou les nombres triangulaires, à qui des propriétés mystiques ont aussi été attribuées.

Existe-t-il des repdigits qui sont aussi des carrés parfaits ? Pour les entiers à un seul chiffre, 0, 1, 4 et 9 répondent à la question. Avec deux chiffres, on n’en trouve aucun. Au-delà de 100, on observe que les carrés qui finissent par deux chiffres identiques finissent par 00 ou 44.

Les nombres triangulaires sont les entiers de la forme . On n'en connaît que six qui s'écrivent avec un seul chiffre : , , , , et... , le « chiffre de la Bête », à la réputation plutôt maléfique (voir Quand le diable s'invite. Fabrice Arnaud, Tangente 227, 2026).

Au passage, on notera quelques coïncidences numériques avec ; et .

Il n'existe aucun autre repdigit triangulaire. Une première démonstration en a été proposée en 1975 dans le Journal of Recreational Mathematics. Malheureusement, un argument faux s'y était glissé : les nombres se terminant par ...8889 ne sont jamais des carrés. Or , entre autres...