Cultivez votre mémoire !

Les moyens mnémotechniques qui permettent de se souvenir des décimales de certains nombres irrationnels peuvent être mis à contribution pour trouver de « grands » nombres premiers…

Il est facile de se souvenir des décimales des nombres rationnels les plus simples car, leur partie décimale étant périodique, il n’y a qu’un nombre restreint de chiffres à mémoriser. Pour les irrationnels, cela demande un effort plus important, aucune périodicité ne pouvant nous aider.

Vous connaissez sans doute ce poème, dont il existe d’ailleurs de multiples versions, permettant de mémoriser quelques décimales de π :

Les nombres de lettres des mots correspondent, dans l’ordre, aux chiffres de la partie entière et des décimales du nombre π, soit 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9… Des équivalents existent dans de nombreuses langues. En voici un exemple pour l’anglais, dû à Adam Orr (1906) :

Le même procédé peut être utilisé pour mémoriser les premiers chiffres de e, base des logarithmes népériens : *« Tu aideras à rappeler ta quantité à beaucoup de docteurs amis. »*

*« To express e, remember to memorize a sentence to simplify this. »*

En voici un autre qui permet de retenir les premières décimales de $\sqrt{2}\backslash sqrt\{2\}$ : « À deux, ô Dieu, de l’ami poète, écoute ce mot. »

Vous êtes en compagnie d’un groupe d’amis et vous proposez le jeu suivant. À tour de rôle, chacun écrit un nombre premier ; celui ayant cité le plus grand nombre premier est déclaré gagnant. Il vous faut bien sûr disposer d’un programme permettant de vérifier facilement la primalité de tous les nombres proposés.

Si vous connaissez les treize premiers chiffres du nombre π, vous avez des chances d’obtenir la victoire en écrivant le nombre 314 159 265 359, arrondi par excès sur le dernier chiffre (la onzième décimale de π est un 8, mais est suivie d’un 9).

Les nombres premiers obtenus à partir des chiffres du nombre π sont 3, 31, 314 159. Mais le suivant s’écrit avec 38 chiffres, et les suivants avec 16 208 chiffres, 45 577 chiffres, 78 073 chiffres et 613 373 chiffres. Bien que l’on n’en ait pas de preuve, on conjecture que cette suite est infinie (voir aussi Tangente 216).

Vous pourriez aussi utiliser les chiffres du nombre, mais il vous faudra mémoriser un texte assez long, car le premier nombre premier apparaissant dans l’écriture des chiffres compte 55 chiffres : 1 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073. Les suivants comptent 97, 225, 11260 et 11540 chiffres.

En revanche, le nombre e peut être utilisé dans ce jeu ; on rappelle que e vaut « environ » 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995.

Le nombre $\sqrt{3}\backslash sqrt\{3\}$ est également intéressant : $\sqrt{3}\simeq 1,7320508\backslash sqrt\{3\}\backslash simeq\; 1,7320508$ 1,73205080756887729352744634150587236694280525381038. Or, 17 et 173 sont premiers.