Couper des rectangles en quatre

Les découpes géométriques sont une source inépuisable d’énigmes. Même un simple rectangle peut donner lieu à des activités mathématiques passionnantes.

On peut trouver un rectangle tel qu’un point intérieur soit situé à des distances toutes entières des quatre sommets, alors que les dimensions de ce rectangle ne sont pas entières. Dans la figure suivante, la longueur et la largeur peuvent varier continûment et prendre des valeurs non entières, bien que les quatre distances du centre aux sommets soient toutes égales à une unité.

Voici une énigme extraite des épreuves du rallye mathématique de Lorraine de 2018. Au Mathpays, les quatre villes principales sont situées aux sommets d’un rectangle et se ravitaillent en eau au puits P.

On désigne le puits par P, Mathville par V, Mathheim par H, Mathcity par Y et Mathland par L. Les points A, B, C et D sont les sommets des quatre petits rectangles PAVB, PBHC, PCLD et PDYA représentés sur la figure.

Dans le cas de cette figure, les dimensions des quatre rectangles PAVB, PBHC, PCLD et PDYA ne peuvent pas être toutes entières.

Le quadrilatère ABCD est inscrit dans le rectangle VHLY. Ses diagonales sont orthogonales : il s’agit d’un quadrilatère orthodiagonal. Ses côtés vérifient l’égalité AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2, qui caractérise les quadrilatères orthodiagonaux.

La figure suivante présente le plus petit exemple de quadrilatère orthodiagonal dont les côtés et les deux diagonales sont tous égaux à des nombres entiers dans une même unité de longueur.

Ce quadrilatère possède une autre propriété remarquable : il est inscriptible dans un cercle.