Construisez vos cercles magiques

La magie arithmétique a intéressé les mathématiciens chinois dès avant notre ère, puis elle a gagné le Japon, avant de rejoindre l’Europe via l’Inde et les pays d’Islam. Si les carrés magiques sont célèbres, les cercles magiques le sont moins.

Les cercles magiques suivants sont dus au mathématicien japonais Seki Kowa, aussi appelé Seki Takakazu, vers 1640-1708. Ils contiennent les nombres entiers de 1 à 33. La somme des nombres écrits sur chacun des cercles est égale à 138, tandis que celle des nombres écrits sur chacun des diamètres est égale à 147.

Le premier carré magique, connu sous le nom de « diagramme des neuf palais » en japonais ou lo shu en chinois, est un carré magique normal d’ordre 3. Il contient les entiers de 1 à 9 et présente la même somme sur les lignes, les colonnes et les deux diagonales.

On adjoint à ce carré magique un second carré dans lequel tous les nombres du premier ont été augmentés de 9 unités : il contient donc les entiers de 10 à 18. En disposant les 18 nombres aux intersections de trois cercles concentriques et de trois diamètres communs, on obtient une figure magique présentant la même somme, égale à 57, sur les trois cercles et les trois diamètres.

Dans chacun des deux carrés initiaux, deux lignes ou deux colonnes quelconques pouvaient être échangées sans affecter la magie des lignes ou des colonnes. Dans les cercles magiques, deux nombres placés dans des cases de même couleur et de même teinte — claire, intermédiaire ou foncée — ont toujours la même somme, égale à 19. Ils peuvent donc être échangés sans détruire les propriétés magiques de la construction, ce qui permet de mieux répartir les petits et les grands nombres.

Cette construction ne possède pas de nombre central comme le cercle de Seki Kowa, sauf si l’on y ajoute le nombre 0. On pourrait également placer au centre le nombre 10, en ajoutant 1 à tous les nombres du second carré, ou le nombre 33, mais les sommes des cercles et celles des diamètres seraient alors différentes.

La construction de cercles magiques peut également être réalisée à partir de rectangles magiques. Un rectangle magique normal de dimensions m et n, où m désigne le nombre de lignes et n le nombre de colonnes, est un arrangement des entiers de 1 à mn dans les cases d’un rectangle. Les m lignes présentent la même somme et les n colonnes présentent également la même somme. Ces deux sommes magiques sont différentes si m ≠ n.

Considérons un rectangle magique 2 × 4. Il contient les entiers de 1 à 8 et présente une somme magique égale à 18 sur les lignes et à 9 sur les colonnes.

Après avoir construit un second rectangle magique de dimensions 2 × 4 contenant les nombres entiers de 9 à 16, on peut réaliser une figure magique composée de deux cercles et de quatre diamètres. La somme magique sur les cercles est égale à 68 et celle sur les diamètres à 34. On pourrait ajouter le nombre 17 au centre de la figure : la somme magique des diamètres passerait alors à 51, sans modifier celle des cercles.