Ce titre compte quatre cinq six… mots

Le langage usuel est-il compatible avec les mathématiques ? Pendant de nombreux siècles, celles-ci se sont développées en empruntant uniquement au langage courant, que ce soit en grec, en chinois, en hindou ou en arabe. Mais, en mathématiques, il importe de bien préciser la définition de chaque terme si l’on ne veut pas aboutir à des paradoxes ou à des cercles vicieux.

Vous achetez une œuvre d’art fractal vendue 999,90 euros. Le terminal de paiement est en panne et vous êtes contraint de régler cet achat par chèque. Vous devez donc écrire « neuf cent quatre-vingt-dix-neuf euros et quatre-vingt-dix centimes », soit douze mots. Si vous êtes suisse ou belge, vous écririez « neuf cent nonante-neuf euros et nonante centimes », soit huit mots. Il serait certainement plus simple d’écrire « mille euros moins dix centimes », expression qui n’utilise que cinq mots, mais votre banque accepterait-elle un chèque rédigé ainsi ?

Le français, comme toute autre langue, comporte un nombre fini de mots. Pour tout nombre entier naturel n choisi comme seuil, les nombres entiers naturels exprimables en français en moins de n mots sont donc également en nombre fini. Existe-t-il alors un plus petit nombre entier naturel non exprimable en moins de quatorze mots ? L’expression « le plus petit nombre entier naturel non exprimable en moins de quatorze mots » ne compte que treize mots, ce qui est contradictoire avec sa définition. C’est le paradoxe de Berry, attribué au Britannique G. G. Berry (1867-1928), qui le formula dans un courrier adressé à Bertrand Russell. Dans sa version originale publiée en 1906, Russell compte les syllabes plutôt que les mots : « The least integer not nameable in fewer than nineteen syllables. »

Une version plus récente consiste à séparer les entiers naturels en deux classes : les nombres intéressants, qui possèdent une propriété particulière, et les nombres inintéressants, qui regroupent tous les autres. Considérer « le plus petit entier naturel inintéressant » conduit à une contradiction, puisque le fait d’être le plus petit de sa classe le rend intéressant. Ce paradoxe repose sur le flou extramathématique du mot « intéressant » ; il se résout en concluant que l’ensemble des nombres inintéressants est vide…

En 1905, Jules Richard (1862-1956), professeur à Dijon, généralisa le paradoxe de Berry. Il considère l’ensemble E de tous les nombres réels définissables en français avec un nombre fini de mots. L’ensemble E est dénombrable : on peut ranger les nombres définissables avec un mot, avec deux mots, avec trois mots, etc., puis ordonner les nombres dans chaque classe. Il construit ensuite un nombre N en remplaçant, pour chaque indice n, le n-ième chiffre du n-ième élément de l’ensemble ordonné E selon la table suivante :

Aucun chiffre n’est remplacé par un « 9 », afin d’éviter d’obtenir un nombre dont la suite des décimales se terminerait par une infinité de « 9 », ce qui le rendrait égal à un élément de E. Ce procédé de diagonalisation produit N, qui n’est pas élément de E bien qu’il soit définissable en un nombre fini de mots.

On peut aussi s’intéresser au nombre de caractères nécessaires pour écrire un nombre en toutes lettres.

Étant donné un nombre entier naturel, on peut également comparer le nombre de lettres nécessaires pour l’écrire en lettres et le nombre de chiffres nécessaires pour l’écrire en chiffres.