À partir de sangakus

Les amateurs de belle géométrie connaissent bien les énigmes proposées par certaines tablettes votives japonaises. Revisitons-en deux.

En 1635, le gouvernement du shogun, puissant seigneur féodal qui tenait alors en tutelle le mikado, empereur du Japon, interdit à tout Japonais de se rendre à l’étranger sous peine de mort. Quatre ans plus tard, en 1639, il rompt toute relation avec le Portugal et l’Espagne. Seuls les Néerlandais et les Chinois restent autorisés à commercer avec le Japon, à condition que leurs navires accostent sur une île artificielle au large du port de Nagasaki. Pendant la majeure partie de la période Edo (1603–1867), le Japon vit ainsi presque totalement coupé du reste du monde, notamment des livres de mathématiques étrangers.

Une tradition consiste alors à réaliser des tablettes de bois peint, accrochées dans les temples en offrande aux dieux. Mathématiciens, paysans, lettrés ou samouraïs se lancent dans la géométrie et présentent le fruit de leurs recherches sur ces tablettes. Chacune porte le nom et la position sociale de son créateur ainsi qu’un ou plusieurs théorèmes illustrés en couleur, généralement sans démonstration. Ces tablettes aux figures très esthétiques sont appelées sangakus.

Le problème présenté sur une tablette consiste généralement à établir une relation entre différentes grandeurs, telles que des rayons de cercles ou des côtés de triangles ou de carrés. On peut aussi chercher à construire les figures à la règle et au compas, même si elles n’ont probablement pas été réalisées de cette façon à l’origine.

Ce premier problème apparaît en 1824 sur une tablette de la province de Gumma. Le rayon R 1 est celui du disque rouge, le rayon R 2 celui du disque vert et le rayon R 3 celui du disque jaune.

Sur une autre tablette, deux pentagones réguliers ayant un côté commun sont inscrits dans un cercle. Un petit disque est inscrit dans le triangle ABH. Un second disque, le grand disque rouge, est tangent à l’arc de cercle ainsi qu’aux côtés [ED] et [EF] des deux pentagones.